쌍문동중3수학과외, 합차공식 인수분해를 변형 문제에 적용하는 과정
학생이 다음 식을 보고 바로 답을 적었다.
x²－49＝(x－7)²
겉으로는 49의 제곱근을 찾아 식을 정리한 것처럼 보이지만, 실제로는 합차공식의 결과를 제곱식으로 바꾸어 버린 오답이다. x²－49는 두 항의 차이이면서 각각 x², 7²로 나타낼 수 있으므로, 한 항을 제곱하는 식이 아니라 두 괄호의 곱으로 분해해야 한다.
x²－49＝x²－7²이므로
(x＋7)(x－7)
이 정확한 인수분해다. 학생은 처음 풀이에서 ‘마이너스가 있으니 뒤에 마이너스를 붙인다’고 설명했지만, 이 말만으로는 계수와 문자 형태가 바뀐 문제를 해결하기 어렵다. 합차공식을 기호로 외우는 데서 멈추지 않고, 두 항이 각각 제곱인지 확인한 뒤 두 제곱의 차로 바꾸는 행동이 필요하다.
49를 발견하고도 괄호 하나로 끝낸 이유
현재 학생의 풀이를 살펴보면 49＝7²이라는 사실은 알고 있었다. 그러나 공식을 적용할 때 필요한 두 결과, 즉 ‘합’과 ‘차’를 동시에 만드는 과정이 빠져 있었다. 특히 (x－7)²을 전개하면 x²－14x＋49가 되므로 원래 식 x²－49와 같지 않다. 인수분해가 끝난 뒤에는 전개하여 원래 식으로 돌아오는지 확인해야 한다.
수정할 때는 문제 옆에 먼저 다음 두 줄을 적는다.
- x²은 x의 제곱인가?
- 49는 7의 제곱인가?
두 질문에 모두 ‘예’라면 x²－7²로 바꾸고, 두 수를 합한 괄호와 뺀 괄호를 만든다. 이후 (x＋7)(x－7)을 다시 전개하여 x²－7x＋7x－49＝x²－49가 되는지 확인한다. 단순히 답을 고쳐 쓰는 것이 아니라, 잘못된 (x－7)²을 직접 전개해 원래 식과 다름을 비교하는 것이 오답 수정의 출발점이다.
문자의 계수와 부호가 달라진 식에서 같은 판단하기
다음 문제에서는 숫자 49 대신 36, 문자 앞의 계수 대신 4가 등장한다.
4x²－36
학생이 처음에는 4와 36을 그대로 묶어 4(x²－36)이라고 쓴 뒤, (x＋6)(x－6)으로 마무리했다. 이 식은 틀린 답은 아니지만 인수분해가 끝난 상태는 아니다. 4x²－36＝4(x²－9)이고, x²－9＝(x＋3)(x－3)이므로 최종 결과는
4(x＋3)(x－3)
이다. 36의 제곱근 6을 바로 사용하는 것이 아니라, 먼저 공통인수 4를 밖으로 꺼낸 뒤 남은 식의 두 제곱을 찾아야 한다. 학생에게는 ‘전체 식에서 바로 제곱을 찾는가, 공통인수를 처리한 뒤 남은 식에서 찾는가’를 말로 설명하게 했다.
부호가 바뀐 문제도 같은 방식으로 확인한다.
25－9y²
25＝5², 9y²＝(3y)²이므로
25－9y²＝(5＋3y)(5－3y)
가 된다. 여기서 학생은 문자의 항을 먼저 써야 한다고 생각해 (3y＋5)(3y－5)를 적었는데, 이를 전개하면 9y²－25가 되어 원래 식의 부호와 반대가 된다. 합차공식에서는 순서보다 각 괄호의 부호와 전체 부호가 함께 맞아야 한다. 답을 쓴 뒤 첫 항과 마지막 항만 보지 않고 가운데 항이 소거되는지도 확인해야 한다.
쌍문동 생활 일정에 맞춘 짧은 오답 확인
쌍문동에는 백운중학교, 선덕중학교, 신도봉중학교, 정의여자중학교, 효문중학교가 있으며, 쌍문동성원아파트와 쌍문동청구아파트 등 생활권 자료도 확인된다. 같은 지역에서 수업이나 학교생활을 마친 뒤 귀가 시각과 과제량이 달라질 수 있으므로, 한 번에 많은 유형을 푸는 방식보다 당일 틀린 합차공식 한 문제를 식 변형부터 검산까지 끝내는 학습 순서가 현실적이다. 도봉구 내 다른 학교 자료를 쌍문동 소재 학교로 확대해 판단하지 않고, 자녀가 실제로 받은 프린트와 시험 준비 일정에 맞춰 오답 장면을 기록하는 편이 정확하다.
학생은 귀가 후 문제를 다시 풀 때 정답만 가리지 않고, 첫 줄에 ‘공통인수 확인’, 둘째 줄에 ‘두 제곱 확인’, 셋째 줄에 ‘합과 차 작성’이라고 적었다. 이 순서를 고정하면 숫자가 작을 때만 기억한 공식을 꺼내는 것이 아니라, 식의 모양을 분석한 뒤 필요한 공식을 선택하게 된다.
답을 외운 것이 아닌지 새 식으로 확인하기
다음 시간에는 앞서 다룬 x²－49를 다시 내지 않고 조건을 바꾸었다.
12a²－75
학생은 먼저 3을 공통인수로 묶어 3(4a²－25)라고 썼다. 이어 4a²＝(2a)², 25＝5²임을 표시하고
3(2a＋5)(2a－5)
를 얻었다. 마지막으로 (2a＋5)(2a－5)＝4a²－25를 전개하여 앞의 3을 곱하면 12a²－75가 된다고 검산했다. 숫자 49가 사라지고 문자가 a로 바뀌었지만, 공통인수를 먼저 찾고 남은 두 제곱을 비교하는 첫 행동은 유지되었다.
이후에는 차의 순서도 바꾸어 확인했다.
16－x²
학생은 (4＋x)(4－x)라고 적은 뒤 전개하여 16－x²임을 확인했다. 같은 두 인수를 (x＋4)(x－4)로 쓰면 x²－16이 되므로 원래 식과 달라진다는 점도 스스로 설명했다. 합차공식 인수분해에서 독립 적용을 판단하는 기준은 공식을 말할 수 있는지가 아니라, 공통인수·제곱 여부·부호를 새 조건에서 차례로 점검하고 전개 검산까지 수행하는지에 있다.