방학동중3수학과외, 합차공식 인수분해의 부호와 검산을 연결하기
학생은 학교 프린트의 식 \(x^3-8\)을 보고 곧바로 \((x-2)(x^2-4x+4)\)라고 적었다. 첫 번째 괄호는 맞았지만 두 번째 괄호의 가운데 부호와 마지막 항을 제대로 판단한 것이 아니었다. 실제로 전개하면 \((x-2)(x^2-4x+4)=x^3-6x^2+12x-8\)이므로 원래 식과 달라진다.
이 장면에서 필요한 것은 합차공식을 외웠는지 확인하는 데서 끝나지 않는다. 학생이 어떤 식을 보았을 때 세제곱 형태를 먼저 찾고, 두 항의 부호에 따라 두 번째 괄호의 부호를 결정한 뒤, 전개로 결과를 확인하는 과정까지 이어져야 한다.
두 항이 세제곱인지 먼저 분해하기
방학동의 방학중학교, 신방학중학교, 창동중학교처럼 학교별로 시험 일정과 프린트 구성이 다를 수 있어도, 합차공식 문항에서 처음 해야 할 판단은 같다. \(x^3-8\)에서 \(x^3\)은 \(x\)의 세제곱이고 \(8=2^3\)이다. 따라서 이 식은 \(a^3-b^3\)의 꼴로 볼 수 있다.
공식은 다음과 같다.
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
학생은 ‘앞 괄호의 부호를 그대로 두 번째 괄호에도 반복한다’고 설명했지만, 그것은 사용할 수 있는 규칙이 아니다. 합에서는 두 번째 괄호가 \(a^2-ab+b^2\), 차에서는 \(a^2+ab+b^2\)가 된다. 앞의 부호와 가운데 항의 부호가 서로 반대라는 점을 식으로 확인해야 한다.
왜 \(x^3-8\)의 가운데 항은 플러스인가
\(x^3-8=x^3-2^3\)이므로 \(a=x\), \(b=2\)를 대입한다.
\(x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)\)
학생이 적은 \((x-2)(x^2-4x+4)\)는 \(x^2-2x+4\)가 아니라는 점도 함께 살펴야 한다. 공식의 두 번째 항은 \(ab\)이므로 \(x\cdot2=2x\)이다. \(4x\)가 되려면 근거 없는 곱을 한 셈이다. 수정할 때는 공식을 다시 베껴 쓰는 대신, 옆에 \(a=x,\ b=2\)를 적고 \(a^2,\ ab,\ b^2\)를 각각 계산하게 한다.
학생의 풀이 종이에 다음 세 칸을 만들었다.
- \(a^2=x^2\)
- \(ab=x\cdot2=2x\)
- \(b^2=2^2=4\)
그 뒤 \((a-b)(a^2+ab+b^2)\)에 세 결과를 넣었다. 이 방법은 숫자가 바뀌거나 문항의 모양이 달라져도 가운데 항을 임의로 만들지 않도록 돕는다.
맞는 인수분해인지 전개로 확인하기
검산은 마지막에 형식적으로 한 줄 적는 절차가 아니다. \((x-2)(x^2+2x+4)\)를 전개하면
\(x(x^2+2x+4)-2(x^2+2x+4)\)
\(=x^3+2x^2+4x-2x^2-4x-8\)
\(=x^3-8\)
이처럼 가운데 항과 \(x\)항이 서로 없어져야 한다. 학생은 처음에는 첫 항 \(x^3\)과 마지막 항 \(-8\)만 비교해 맞다고 판단했다. 그러나 합차공식에서는 중간 항이 소거되는 구조가 중요하므로, 전개 후 \(x^2\)항과 \(x\)항까지 확인하도록 풀이 순서를 바꾸었다.
두 세제곱을 찾는다 → 합인지 차인지 표시한다 → \(a^2, ab, b^2\)를 따로 계산한다 → 전개하여 원래 식으로 돌아오는지 확인한다.
합의 공식에서 같은 오류가 어떻게 바뀌는가
다음 시간에는 \(8y^3+27\)을 제시했다. 학생은 \(8y^3=(2y)^3\), \(27=3^3\)까지는 올바르게 찾았지만 \((2y+3)(4y^2+6y+9)\)라고 적었다. 합의 경우 두 번째 괄호 가운데 항은 마이너스여야 한다.
\(8y^3+27=(2y+3)(4y^2-6y+9)\)
여기서 \(a=2y,\ b=3\)이므로 \(ab=6y\)이다. 다시 전개하면
\((2y+3)(4y^2-6y+9)=8y^3-12y^2+18y+12y^2-18y+27=8y^3+27\)
학생은 이번에는 두 번째 괄호를 쓰기 전에 식 위에 ‘합, 가운데 마이너스’라고 표시했다. 앞 괄호의 플러스와 두 번째 괄호의 마이너스를 구분한 것이다. 단순히 \(x^3-8\)을 다시 풀게 하지 않고, 계수와 문자를 바꾼 \(8y^3+27\)을 사용한 이유도 여기에 있다.
방학동 학생의 주간 일정에 맞춘 확인 방식
방학동 생활권 자료에서는 방학삼성래미안1단지아파트와 방학동우성아파트 등이 확인된다. 같은 생활권 안에서도 방학중학교·신방학중학교·창동중학교 학생의 학원 및 학교 과제 일정은 서로 다를 수 있으므로, 한 지역 학생을 동일한 학습 성향으로 묶지 않고 실제 풀이 기록을 기준으로 확인한다. 같은 도봉구의 노곡중학교와 도봉중학교는 참고 학교로 볼 수 있지만, 방학동 소재 학교로 단정하지 않는다.
주간 학습에서는 공식 2개를 한꺼번에 외우게 하기보다, 그날 틀린 식 하나를 기준으로 부호표와 검산을 남긴다. 풀이 시간이 짧은 날에는 \(a,b\) 대입표만 작성하고, 시간이 있는 날에는 전개 검산까지 진행한다. 학교별 내신 범위가 다를 수 있어도 학생이 실제로 놓친 단계에 따라 기록량을 조절한다.
숫자와 표현이 바뀐 문제에서 독립적으로 적용하기
마지막에는 도움 없이 \(27t^3-64\)를 풀게 했다. 학생은 \(27t^3=(3t)^3\), \(64=4^3\)를 찾아 차의 공식임을 표시했다.
\(27t^3-64=(3t-4)(9t^2+12t+16)\)
이번에는 \(ab=(3t)(4)=12t\)를 따로 계산했고, 전개하여 \(27t^3-64\)가 되는지도 확인했다. 정답을 기억해 적은 것이 아니라, 두 세제곱을 찾고 차의 공식을 선택한 뒤 \(ab\)와 \(b^2\)를 계산하는 첫 행동을 스스로 꺼냈다는 점이 확인되었다. 합차공식 인수분해의 완성 여부는 공식을 썼다는 표시보다, 부호의 근거와 전개 검산을 남겼는지로 판단한다.