도봉동중3수학과외, 합차공식 인수분해의 조건부터 확인하는 풀이
“x²-25=(x-5)(x+5)”에서 멈추지 않는 인수분해
도봉동의 한 중3 학생은 식 x²-25를 보자마자 “25의 제곱근이 5니까 (x-5)(x+5)”라고 적었다. 답은 맞았지만, 다음 문항에서 4x²-49를 만나자 (4x-7)(4x+7)이라고 써서 틀렸다. 숫자를 대입해 계산하는 습관은 있었지만, 합차공식이 적용되는 식의 모양과 각 항의 제곱 여부를 먼저 확인하지 않았기 때문이다.
합차공식 인수분해에서 중요한 것은 공식을 외워 빠르게 쓰는 일이 아니다. 식이 A²-B² 형태인지 판단하고, 그 결과가 (A-B)(A+B)가 되는 이유를 식의 의미로 설명할 수 있어야 한다. 학생이 처음 쓴 답이 맞았는지보다, 어떤 조건을 보고 공식을 선택했는지를 확인하는 과정이 필요하다.
두 항이 보인다고 바로 합차공식을 쓰지 않는 이유
학생의 풀이를 다시 살펴보면 x²-25에서는 두 항이 모두 제곱수였다. x²=(x)², 25=5²이므로
x²-25=x²-5²=(x-5)(x+5)
가 성립한다. 반면 4x²-49에서는 첫 항을 (2x)², 둘째 항을 7²로 바꾸어야 한다.
4x²-49=(2x)²-7²=(2x-7)(2x+7)
학생이 쓴 (4x-7)(4x+7)을 전개하면 16x²-49가 되므로 원래 식과 다르다. 잘못된 지점은 뺄셈의 부호가 아니라 첫 항의 제곱근을 4x로 읽은 데 있다. 4x²의 제곱 형태는 (2x)²이지 (4x)²가 아니다.
공식보다 먼저 적는 ‘제곱 형태’
수업에서는 정답 인수분해를 바로 쓰게 하지 않고, 학생이 다음 세 줄을 먼저 적도록 했다.
- 두 항 사이의 연산이 뺄셈인가?
- 각 항을 제곱 형태로 바꿀 수 있는가?
- 제곱한 대상이 각각 무엇인가?
예를 들어 9y²-16에서는 9y²=(3y)², 16=4²라고 확인한 뒤 (3y-4)(3y+4)를 쓴다. 반대로 9y²+16은 두 항이 제곱수라는 사실만으로 합차공식을 적용할 수 없다. 연산이 덧셈이기 때문이다. 학생은 이전에는 ‘두 제곱이 보이면 합차공식’이라고 말했지만, 수정 후에는 “제곱의 차, 즉 앞의 제곱에서 뒤의 제곱을 뺀 모양이어야 한다”고 설명했다.
합차공식은 두 항이 각각 제곱이라는 조건과 그 사이가 뺄셈이라는 조건을 함께 만족할 때 사용한다.
인수분해 뒤 전개까지 해야 하는 까닭
합차공식은 결과를 기억하는 것보다 곱셈식이 원래 식으로 돌아오는지 확인하는 것이 효과적이다. 학생이 (2x-7)(2x+7)을 얻은 뒤에는 앞뒤 항을 각각 확인했다.
(2x-7)(2x+7)=4x²+14x-14x-49=4x²-49
가운데 항이 서로 없어지는 것은 두 인수가 같은 두 항을 가지고 부호만 반대이기 때문이다. 이 의미를 확인하면 (A-B)(A+B)에서 가운데 항이 사라지는 이유도 함께 설명할 수 있다. 단순히 “마이너스와 플러스를 쓰면 된다”고 외운 학생은 (3a-5)(3a-5)처럼 같은 부호를 반복하기 쉽지만, 전개 검산을 하면 9a²-30a+25가 되어 합차공식의 결과가 아님을 바로 확인할 수 있다.
학교 일정 안에서 짧게 끊어 확인한 합차공식
도봉동에는 도봉중학교와 북서울중학교가 있으며, 같은 도봉구의 노곡중학교·방학중학교·백운중학교는 참고 학교로 구분해 볼 수 있다. 학교별 시험 범위와 수행평가 일정은 실제 공지에 따라 달라지므로 특정 출제경향을 단정하지 않고, 학생의 평일 귀가 시간과 학교 일정에 맞춰 확인 단위를 나누는 방식이 적절하다. 도봉역과 도봉파크빌2단지 생활권에서 이동하는 학생이라면 귀가 후 긴 문제 세트를 계획하기보다, 학교 프린트의 합차공식 문항 두세 개를 골라 ‘조건 표시-제곱 형태 작성-인수분해-전개 검산’ 순서로 점검하는 편이 효율적이다.
시험 범위가 공지된 날에는 새 유형을 무작정 늘리지 않고, 먼저 식의 형태를 판별하는 문항을 배치한다. 수행평가나 다른 학교 일정으로 평일 시간이 짧은 날에는 25x²-36처럼 계수가 바뀐 식 하나를 골라 (5x)²-6²로 바꾸는 데 집중한다. 반대로 시간이 확보된 날에는 덧셈식과 공통인수가 섞인 식을 함께 놓고, 합차공식을 적용할 수 있는지 구분하게 한다.
숫자와 표현이 바뀐 문제에서 다시 꺼내기
다음 확인 문제는 49m²-100n²였다. 학생은 처음에 계수가 복잡하다며 (49m-100n)(m+n)이라고 적으려 했다. 교사는 답을 알려주지 않고 두 항을 각각 제곱으로 표시하게 했다.
49m²=(7m)², 100n²=(10n)²
따라서 정확한 인수분해는
49m²-100n²=(7m-10n)(7m+10n)
이다. 이번에는 학생이 먼저 뺄셈 여부를 확인하고, 49m가 아니라 7m을 제곱의 대상으로 정정했다. 마지막으로 두 인수를 곱해 49m²-100n²로 돌아오는지 확인했다. 숫자 25와 49를 외워서 맞힌 것이 아니라 계수와 문자의 형태가 달라져도 필요한 첫 행동을 다시 선택한 것이다.
합차공식 인수분해를 끝냈다고 판단하는 기준은 공식을 한 번 적는 데 있지 않다. 식을 A²-B²로 바꿀 수 있는지, (A-B)(A+B)의 가운데 항이 왜 사라지는지, 전개했을 때 원래 식으로 돌아오는지를 학생 자신의 말과 손으로 확인할 수 있어야 한다. 이 세 가지가 새 식에서도 이어질 때 정답 계산보다 앞선 수학적 판단이 만들어진다.