화정동중1수학과외, 합동 조건을 맞혀도 이유를 설명하지 못하는 순간의 점검
“두 변과 그 끼인각이 같으므로 합동이다.” 정답은 맞았지만, 막상 어떤 두 변이 대응하는지 묻자 설명이 멈추는 중1 학생이 있다. 답지의 문장을 기억해 적은 것과 그림의 조건을 이용해 합동을 판단한 것은 다르다. 화정동중1수학과외에서는 합동 조건을 외우는 데서 끝내지 않고, 주어진 도형에서 대응 관계를 찾아 말하고 확인하는 과정까지 연결한다.
정답 뒤에 남는 빈칸은 대응 관계에서 생긴다
삼각형의 합동을 판단할 때 학생은 흔히 “변 두 개가 같으니 합동”이라고 적는다. 그러나 두 변만 같다는 정보만으로는 부족할 수 있다. 두 변과 그 끼인각이 각각 같다는 SAS 조건인지, 한 변과 양 끝각이 각각 같다는 ASA 조건인지 구분해야 한다.
예를 들어 △ABC와 △DEF에서 AB=DE, AC=DF, ∠A=∠D라면 ∠A와 ∠D는 같은 두 변 사이의 각이다. 따라서 SAS 조건으로 △ABC≡△DEF라고 판단할 수 있다. 이때 대응 순서는 A↔D, B↔E, C↔F이다. 학생이 “ABC와 DEF가 합동”이라고만 쓰고 대응 꼭짓점을 설명하지 못한다면, 조건을 실제로 연결한 것이 아니라 결론을 외운 상태일 수 있다.
답지를 보기 전, 그림에 세 가지 표시를 남긴다
첫째, 문제에서 같다고 제시한 변이나 각에 같은 표시를 한다. 둘째, 두 도형에서 같은 역할을 하는 꼭짓점을 화살표로 연결한다. 셋째, 합동 조건에 필요한 정보와 필요하지 않은 정보를 구분한다.
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 학생은 ∠B=∠E와 AB=DE를 찾은 뒤 곧바로 “ASA”라고 적을 수 있다. 하지만 ASA에는 양 끝각과 그 사이의 변이 필요하다. 다른 한 각이 주어지지 않았다면 ASA라고 결정할 수 없다. 이때 답지를 펼치기 전에 ‘현재 확인한 것은 각 1개와 변 1개’라고 중간식 옆에 적게 한다. 조건의 개수를 세는 행동이 아니라 조건의 위치와 역할을 확인하는 행동이다.
공식 대신 대응표를 먼저 만든다
합동 문제를 풀 때 다음과 같은 짧은 표를 문제 옆에 작성한다.
- A와 D: 같은 각이 표시됨
- AB와 DE: 같은 길이로 제시됨
- AC와 DF: 같은 길이로 제시됨
- 따라서 A↔D, B↔E, C↔F
- 두 변과 그 끼인각이 각각 같으므로 SAS
이 과정을 거치면 “합동이다”라는 결론만 남지 않고, 왜 합동인지와 어떤 순서로 대응하는지가 함께 남는다. 특히 합동 기호를 쓸 때는 순서를 임의로 바꾸지 않는다. △ABC≡△DEF라고 썼다면 A와 D, B와 E, C와 F가 대응해야 한다. △ABC≡△DFE처럼 쓰려면 각 꼭짓점의 대응 관계가 달라지는지 다시 확인해야 한다.
전개도는 면의 모양보다 이웃 관계를 확인한다
전개도 문제에서도 답을 맞힌 직후 이유가 흐려지는 현상이 나타난다. 학생은 전개도의 모양을 눈에 익혀 정답 번호를 고르지만, 접었을 때 어떤 면이 서로 맞닿는지는 설명하지 못한다. 이때는 면의 번호를 붙이고, 각 면의 이웃 관계를 직접 적는다.
예를 들어 한 면을 기준면으로 정한 뒤 위·아래·왼쪽·오른쪽에 붙은 면을 표시한다. 기준면과 변을 공유하지 않는 면은 바로 이웃 면이 아니라는 점도 확인한다. 전개도를 회전해 보았을 때 그림의 방향이 달라져도 같은 면이 같은 변을 공유하는지 확인하면, 외운 모양에 의존하는 실수를 줄일 수 있다. 합동 도형에서 대응 변을 찾는 과정과 전개도에서 이웃 면을 찾는 과정 모두 ‘그림의 위치’보다 ‘관계’를 확인한다는 공통점이 있다.
변형 문제에서 설명이 유지되는지 확인한다
같은 문제를 즉시 다시 풀어 맞히는 것으로 검증을 끝내지 않는다. 다음에는 도형의 방향을 회전하거나, 문자 순서를 바꾸거나, 표시된 조건의 위치를 달리한 문제를 제시한다. 학생은 먼저 구해야 할 대응 꼭짓점과 변에 표시한 뒤 합동 조건을 말해야 한다.
예를 들어 원래 SAS였던 문제에서 두 변의 이름을 바꾸고 각을 다른 위치에 표시한다. 학생이 여전히 “두 변과 그 사이 각”이라고 설명하면 조건을 적용한 것이다. 반대로 그림의 모양이 낯설어지자 다시 답지를 찾는다면, 대응표 작성과 조건 말하기를 한 차례 더 실시한다.
전개도는 면 번호와 이웃 관계를 바꾼 문제로 확인한다. 기준면을 다른 곳으로 옮기고, 전개도를 회전한 형태를 보여 준 뒤 서로 맞닿는 면을 말하게 한다. 일주일 뒤에는 학교 프린트와 형식이 다른 문항을 시간 제한 안에서 풀게 한다. 합동 기호의 대응 순서와 전개도의 이웃 면을 도움 없이 설명하면 해당 항목을 종료하고, 결론만 맞히고 근거를 생략하면 미완료로 남긴다.
화정동에는 백양중학교, 지도중학교, 화수중학교, 화정중학교가 있으며 같은 덕양구의 가람중학교는 참고 학교로 구분해야 한다. 같은 지역에서도 학교와 주거지 사이 이동 시간에 따라 복습 가능한 시간이 달라질 수 있으므로, 짧은 시간에는 대응표 한 문제를 완성하고 긴 시간에는 변형 전개도까지 검증하는 식으로 학습량을 나누는 편이 현실적이다.
자주 묻는 질문
합동 조건을 모두 외워야 하나요?
조건의 이름만 외우기보다 그림에서 같은 변과 각을 표시하고, 그 위치가 어떤 조건에 해당하는지 설명하는 연습이 우선이다.
전개도와 합동을 함께 공부해도 되나요?
두 단원을 섞어 암기하기보다는 대응 관계와 면의 이웃 관계를 확인하는 공통된 표시 방법으로 연결하면 된다. 각 문제의 핵심 조건은 따로 기록해야 한다.