행신동중3수학과외, cos를 외우는 대신 기준각과 조건으로 판단하기
“cos는 밑변 나누기 빗변이죠?” 행신동의 한 중3 학생은 직각삼각형 그림을 보자마자 가장 긴 변을 분모에 쓰고, 아래쪽에 놓인 변을 분자에 적었다. 그림이 뒤집히거나 기준각이 오른쪽으로 옮겨지면 같은 방식으로 계산하지 못했다. 답을 외운 것이 아니라 cos가 어떤 각을 기준으로 정해지는지 확인하는 과정이 빠져 있었던 것이다.
cos의 분자는 그림의 위치가 아니라 기준각으로 정해진다
직각삼각형에서 cos는 기준각을 먼저 정한 뒤, 그 각에 붙어 있는 두 변을 비교한다. 빗변은 직각의 맞은편에 있는 가장 긴 변이고, 인접변은 기준각과 맞닿아 있지만 빗변이 아닌 변이다. 따라서
cos(기준각) = 인접변 ÷ 빗변
으로 정리한다. ‘밑변’이라는 말만으로는 충분하지 않다. 삼각형을 돌려 그리면 밑변이 달라질 수 있지만, 기준각과 빗변의 관계는 달라지지 않기 때문이다.
cos를 쓰기 전, 기준각 표시 → 직각 표시 → 빗변 확인 → 남은 두 변 중 인접변 선택
이 네 가지를 순서대로 확인하도록 하자 학생의 풀이가 달라졌다. 예를 들어 빗변이 10이고 기준각에 붙은 다른 변이 6이라면 cos의 값은 6/10=3/5이다. 반대편 변이 8이라는 사실은 sin을 구할 때 필요할 수 있지만, cos의 분자에 바로 넣을 수는 없다.
같은 삼각형에서도 기준각이 바뀌면 cos가 달라진다
학생이 자주 멈춘 문항은 변의 길이가 같은데 기준각만 바뀐 문제였다. 직각삼각형 ABC에서 ∠C=90°, AB=13, AC=5, BC=12라고 하자. ∠A를 기준으로 보면 AB가 빗변이고 AC가 인접변이므로
cos A = AC ÷ AB = 5/13
이다. 그러나 ∠B를 기준으로 하면 AB는 여전히 빗변이지만, 인접변은 BC로 바뀐다.
cos B = BC ÷ AB = 12/13
학생은 두 식에서 분모가 같다는 점만 보고 분자도 5로 유지하려 했다. 이때 필요한 수정 행동은 변의 이름을 외우는 것이 아니라 기준각에서 해당 변까지 선을 따라 확인하는 것이다. 각 A에 붙은 변 중 빗변이 아닌 변은 AC이고, 각 B에 붙은 변 중 빗변이 아닌 변은 BC라는 식으로 말하게 했다.
‘마주 보는 변’을 고르는 순간 cos가 sin으로 바뀐다
기준각을 표시하지 않은 채 “가로로 놓인 변이 인접변”이라고 설명하는 것도 오류를 만들었다. 삼각형을 회전하거나 기준각을 바꾸면 가로와 세로는 의미가 없어지기 때문이다. 학생에게 먼저 각을 동그라미로 표시하게 하고, 그 각과 맞닿지 않은 변을 찾아 대변으로 분류하게 했다. 그런 다음 빗변을 제외하고 각에 닿은 변만 인접변으로 남겼다.
예를 들어 어떤 기준각에서 대변이 9, 빗변이 15라면 9/15는 cos가 아니라 sin에 해당하는 비율이다. 인접변이 12라면 cos는 12/15=4/5이다. 한 변을 골라 놓고 삼각비 이름을 붙이는 것이 아니라, 먼저 각과 변의 관계를 판별한 뒤 cos를 선택해야 한다.
행신동의 통학 일정 속에서도 풀이 첫 줄을 고정하기
행신동에는 가람중학교, 무원중학교, 서정중학교, 신능중학교, 행신중학교가 있다. 행신SK뷰아파트와 무원마을10단지 등이 포함된 생활권에서 학교와 학원 사이 이동 시간이 달라질 수 있고, 중학교에서 고등학교로 넘어가면 과제와 시험 준비가 겹치는 시기가 늘어날 수 있다. 그래서 긴 시간 동안 삼각비 문제를 많이 푸는 방식보다, 짧은 풀이에서도 기준각과 빗변을 빠뜨리지 않는 절차를 만드는 편이 실제 학습 일정에 맞다.
수업에서는 한 문항을 푼 뒤 답만 확인하지 않고 다음 세 문장을 말하게 했다.
- 기준각은 어느 각인가?
- 빗변은 어느 변인가?
- 그 기준각에 붙은 변 중 빗변이 아닌 것은 무엇인가?
학생이 “cos A=5/13”이라고 썼다면 “왜 5인가?”를 설명하게 한다. “AC가 각 A에 붙어 있고 AB는 빗변이기 때문”이라는 근거가 나오지 않으면 계산이 맞아도 풀이를 끝내지 않는다. 이 과정은 정답을 기억하는지보다 그림의 조건에서 필요한 변을 다시 선택하는지를 확인한다.
그림을 돌리고 숫자를 바꾼 뒤에도 같은 판단이 나오는가
확인 문제에서는 이전 삼각형의 위치와 숫자를 바꾸었다. ∠X=90°, XY=9, XZ=40, YZ=41인 직각삼각형에서 ∠Z의 cos를 묻고, 그림에서는 빗변 YZ를 아래쪽에 배치했다. 학생은 먼저 ∠Z를 표시하고, YZ를 빗변으로 찾은 뒤 Z에 닿은 변 중 빗변이 아닌 XZ를 골랐다.
따라서
cos Z = XZ ÷ YZ = 40/41
이 된다. 처음 연습했던 5/13을 떠올려 숫자를 대입한 것이 아니라, 기준각과 변의 관계를 새로 판별한 결과다. 이어서 “∠Y의 cos라면?”이라고 묻자 이번에는 XY가 인접변이라고 바꾸어 9/41을 제시했다. 마지막으로 자신이 고른 두 변을 다시 그림에서 연결해 보고, 분모가 직각의 맞은편 변인지 확인했다.
cos 문제에서 독립적으로 풀었다고 판단하는 기준은 공식을 적었는지가 아니다. 그림의 방향이 바뀌고 기준각이 이동해도 첫 줄에 각을 표시하고, 빗변을 찾고, 인접변을 근거와 함께 선택하는지에 있다. 이 세 단계가 도움 없이 이어지면 cos의 뜻을 계산식이 아니라 조건 판별로 사용할 수 있다.