행신동중1수학과외, 내각과 외각을 그림에 표시하고 서술형 근거까지 남기는 연습
“이 각이 내각인지 외각인지 모르겠어요.” 설명을 들을 때는 고개를 끄덕이던 중1 학생도, 선분을 연장하거나 도형을 돌려 놓은 문제에서는 다시 멈추는 경우가 있다. 특히 문제에 직접 표시하지 않고 머릿속으로만 변의 관계를 유지하려 하면, 처음 보는 변형문제에서 어느 각을 말하는지 놓치기 쉽다.
행신동에는 가람중학교, 무원중학교, 서정중학교, 신능중학교, 행신중학교가 있다. 행신SK뷰아파트와 무원마을10단지 등 생활권 안에서 학교와 학습 장소를 오가는 상황에서는 긴 시간의 추가 학습보다, 짧은 시간에도 풀이 과정을 남기고 다음 날 다시 확인하는 방식이 현실적이다. 학교별 출제 경향을 단정하기보다는 현재 풀고 있는 교과서와 학교 프린트의 표현을 기준으로 내각과 외각을 정확히 읽는 데 초점을 둔다.
그림을 보기 전에 각의 위치부터 정한다
다각형의 한 꼭짓점에서 두 변이 만드는 도형 안쪽의 각이 내각이다. 한 변을 연장했을 때 기존 변과 연장된 변이 이루는 바깥쪽 각은 외각으로 다룬다. 이때 그림의 크기나 방향이 기준이 아니다. 삼각형을 회전하거나 꼭짓점을 아래쪽에 배치해도 먼저 ‘도형 내부’와 ‘한 변의 연장’을 찾아야 한다.
예를 들어 삼각형 ABC에서 변 BC를 C의 바깥쪽으로 연장하고 연장선과 CA가 이루는 각을 표시했다면, 그 각은 C에서의 외각이다. C에 있는 삼각형 내부의 각 ∠BCA와 혼동하면 안 된다. 두 각은 한 변을 공유하지만, 다른 한 변이 같은 방향에 있지 않다.
학생은 흔히 “오른쪽에 있으니 외각”처럼 위치만 기억한다. 그러나 도형이 뒤집히면 이 판단은 바로 무너진다. 따라서 문제를 읽자마자 꼭짓점에 작은 점을 찍고, 도형 안쪽에는 ‘안’, 연장된 선에는 ‘연장’이라고 짧게 표시한다. 각의 이름이 제시되었다면 ∠ABC처럼 가운데 문자가 꼭짓점이라는 점도 함께 확인한다.
한 중1 학생의 풀이를 고쳐 보는 장면
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 다음과 같은 문제를 만날 수 있다.
삼각형 ABC에서 ∠A=52°이고, C에서 한 변을 연장하여 생긴 외각이 118°일 때 ∠B의 크기를 구하여라.
학생은 그림을 본 뒤 “외각이 118°니까 삼각형의 세 각 중 하나가 118°”라고 적고, 180-52-118=10이라고 계산한다. 정답에 가까운 숫자가 나오더라도 풀이의 대상이 잘못되었다. 118°는 삼각형 내부의 C각이 아니라 C각과 이웃한 외각이기 때문이다.
먼저 C의 내각을 구해야 한다. 내각과 외각은 한 직선 위에서 이웃하므로 합이 180°이다.
∠C=180°-118°=62°
따라서 삼각형의 내각의 합을 이용하면
∠B=180°-52°-62°=66°
이 학생의 오답을 단순히 ‘계산 실수’라고 적으면 다음 문제에서도 같은 오류가 남는다. 실제 원인은 외각의 값을 곧바로 삼각형 내부 각으로 사용한 조건 해석 오류다. 오답표에는 ‘개념’ 하나만 표시하지 말고, ‘외각을 내각으로 바꾸는 단계 누락’이라고 구체적으로 쓴다.
풀이 첫 줄을 고정하지 말고 조건을 표시한다
내각과 외각 문제에서는 계산 전에 세 가지를 표시한다.
- 구하려는 꼭짓점에 동그라미를 친다.
- 도형 내부의 각에는 ‘내각’이라고 적는다.
- 연장된 변과 외각에는 화살표를 그리고 ‘외각’이라고 적는다.
그 다음 외각과 관련된 식을 문장으로 먼저 만든다. “외각과 이웃한 내각의 합은 180°”인지, “삼각형의 외각은 나머지 두 내각의 합과 같다”를 사용할 것인지 문제의 표시를 보고 선택한다. 예를 들어 외각이 118°라면 ∠C를 구하는 첫 줄은 ‘∠C+118°=180°’이다. 이 중간식을 쓰면 180°-118°를 왜 계산하는지 남는다.
반대로 외각이 125°이고 ∠A=55°인 삼각형에서 ∠B를 묻는 경우에는 외각의 성질을 바로 사용할 수 있다. 외각은 그와 이웃하지 않는 두 내각의 합과 같으므로 125°=55°+∠B, 따라서 ∠B=70°이다. 두 방법 모두 가능하지만, 그림에서 어떤 각이 이웃하고 어떤 각이 마주 떨어져 있는지 표시한 뒤 선택해야 한다.
서술형에서는 숫자보다 관계를 먼저 적는다
서술형 답이 맞아도 근거가 빠지면 풀이가 완성되지 않는다. ‘180-118=62, 180-52-62=66’만 쓰는 대신 다음처럼 관계를 남긴다.
∠C와 외각 118°는 일직선 위의 이웃한 각이므로 ∠C=180°-118°=62°이다. 삼각형의 내각의 합은 180°이므로 ∠B=180°-52°-62°=66°이다.
문장이 길어질수록 모든 숫자에 밑줄을 긋는 방식은 오히려 혼란을 줄 수 있다. ‘삼각형’, ‘C에서 변을 연장’, ‘외각 118°’, ‘∠A=52°’처럼 각 조건에 표시하고, 사용한 조건 옆에 식을 연결한다. 교과서와 문제집의 표현이 달라도 ‘연장’, ‘바깥쪽’, ‘이웃한 각’, ‘나머지 두 내각’이 어떤 관계를 뜻하는지 바꾸어 읽을 수 있다.
다음 날에는 같은 문제 대신 조건을 바꾼다
당일에 풀이를 고친 뒤 같은 문제를 바로 다시 맞히는 것만으로는 충분하지 않다. 다음 날에는 외각의 위치를 반대쪽에 그리거나, 숫자를 127°와 48°로 바꾼 문항을 사용한다. 예를 들어 외각이 127°, ∠A가 48°라면 외각의 성질에 의해 ∠B=127°-48°=79°이다. 이때 학생이 180°-127°로 먼저 이웃한 내각을 구한 뒤 삼각형의 합을 적용해도 같은 결과가 나와야 한다.
검증할 때는 정답만 확인하지 않고 오답 원인을 개념·조건·계산·표현 중 하나로 먼저 분류한다. 그림을 회전했을 때도 내각을 도형 내부에 표시하는지, 외각을 내각으로 착각하지 않는지, 식 사이에 이유를 적는지를 본다. 새로운 조건에서 다시 틀렸다면 그 문항만 남기고, 표시와 중간식이 독립적으로 유지되면 해당 복습은 종료할 수 있다.
행신동중1수학과외에서 내각과 외각을 다룰 때도 핵심은 설명을 오래 듣는 데 있지 않다. 학생이 막힌 지점을 “외각을 내각으로 사용했어요”, “연장된 변을 표시하지 않았어요”, “삼각형의 합을 쓰기 전에 내각을 구해야 했어요”처럼 한 문장으로 바꾸고, 다음 문제에서 표시·식·근거를 실제로 남기는지 확인하는 과정이 중요하다.