지축동중2수학과외, 내심과 외심을 작도로 구분하는 조건 판단 훈련
지축동에서 중2 수학을 공부하는 학생 중에는 삼각형의 중심을 묻는 문제에서 답은 맞히지만 풀이 근거를 말하지 못하는 경우가 있다. “내심은 안쪽에 있으니까 내심”, “외심은 바깥쪽까지 연결되니까 외심”처럼 그림의 위치만 보고 판단하는 방식이다. 이 단원에서는 이름을 외우는 것보다 어떤 선을 그었고, 그 선들이 무엇을 기준으로 만나는지를 확인해야 한다.
그림의 위치보다 작도 조건을 먼저 본다
내심은 삼각형 세 각의 이등분선이 만나는 점이다. 이 점에서 세 변에 내린 수선의 길이는 같고, 내접원의 중심이 된다. 반면 외심은 세 변의 수직이등분선이 만나는 점이다. 외심에서 세 꼭짓점까지의 거리가 같으며, 그 점의 위치는 삼각형의 모양에 따라 달라진다.
예를 들어 예각삼각형에서는 외심이 삼각형 내부에 있지만, 둔각삼각형에서는 외심이 삼각형 바깥에 놓인다. 따라서 “안쪽에 있으면 내심”이라는 판단은 예각삼각형에서만 우연히 맞을 수 있다. 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이라는 별도 성질도 함께 확인해야 한다.
지축동 중2 학생에게 나타난 실제 풀이 장면
한 학생은 삼각형 ABC에서 ∠A와 ∠B를 각각 반으로 나눈 선을 그은 뒤 교점을 P라고 표시했다. 문제에서 P가 어떤 점인지 묻자 내심이라고 답했지만, 이유를 쓰는 칸에는 “삼각형 안에 있는 중심이기 때문”이라고 적었다. 반대로 변 AB의 중점을 표시하고 그 점을 지나는 AB의 수직선을 그린 뒤, 변 AC의 중점을 지나 AC에 수직인 선을 그었을 때 생기는 교점은 외심이라고 말하면서도 “두 변의 중점이 만나는 점”이라고 설명했다.
이 오답은 계산 실수라기보다 도형의 기준을 바꿔 읽은 데서 생긴다. 각의 이등분선과 수직이등분선을 구분하지 못했고, 선분의 중점을 찾는 일과 각을 반으로 나누는 일을 한 묶음으로 처리했다. 작도 과정이 생략되자 그림의 위치와 이름만 남았다.
풀이 전 세 칸 표시하기
과외에서는 문제를 보자마자 답을 쓰지 않고 종이에 다음 세 칸을 만든다.
- 무엇을 이등분하는가: 각인가, 선분인가
- 어떤 조건을 만족하는 선인가: 각의 크기를 같게 하는가, 선분에 수직이며 양 끝점까지의 거리를 같게 하는가
- 교점에서 무엇이 같아지는가: 세 각까지의 관계인가, 세 꼭짓점까지의 거리인가
각의 이등분선이 주어지면 같은 각 표시를 양쪽에 직접 적는다. 예를 들어 ∠BAP와 ∠PAC가 같다면 두 각에 같은 표시를 하고, P가 세 각의 이등분선의 교점인지 확인한다. 수직이등분선은 먼저 선분의 중점을 표시한 뒤 직각 기호를 그린다. 단순히 중점을 지나가는 선이라고 쓰지 않고 “중점을 지나고 선분에 수직”이라는 두 조건을 모두 적게 한다.
그림이 흐리거나 선이 연장된 경우에는 자를 대고 선을 다시 그리게 한다. 외심이 삼각형 밖에 있더라도 위치로 배제하지 않도록, 세 꼭짓점 A, B, C를 중심으로 같은 반지름의 원호를 생각해 보게 한다. 외심 P라면 PA=PB=PC가 되어야 한다는 문장도 풀이 옆에 남긴다.
내심은 세 각의 이등분선의 교점, 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이다. 위치는 결과이고, 작도 조건이 근거다.
현행 문제를 끝내는 기준과 선행 조절
중2 후반에는 중3 선행 문제를 풀고 싶은 마음이 커지지만, 현재 시험범위의 도형 조건을 설명하지 못한 상태에서 진도만 늘리면 오답의 원인을 확인하기 어렵다. 지축동 생활권에서 귀가 후 과제 시간이 제한된 학생이라면 그날 공부를 “몇 쪽 풀었는가”보다 “내심과 외심 문제를 조건까지 말하고 해결했는가”로 기록하는 편이 낫다.
시험범위에서 틀린 문제는 답만 고치지 않고 세 종류로 분류한다. 각과 선분을 혼동한 개념 오류인지, 수직 조건을 빠뜨린 조건 누락인지, 서술형 근거를 쓰지 않은 표현 오류인지 구분한다. 피곤한 날에는 새로운 고난도 문제 대신 그림에 각 표시, 중점 표시, 직각 표시를 넣고 중심의 정의를 한 문장으로 쓰는 훈련을 먼저 배치한다.
같은 그림을 벗어난 독립 검증
첫 번째 확인에서는 삼각형 ABC의 세 각의 이등분선 두 개를 그어 교점 P를 찾게 한다. 이후 같은 문제를 다시 풀게 하지 않고 조건을 바꾼다. 둔각삼각형 DEF를 제시하고 두 변의 수직이등분선의 교점을 Q라고 할 때 Q가 외심인지, 삼각형 안에 있는지와 관계없이 근거를 쓰게 한다.
다음에는 직각삼각형의 빗변을 표시하고 외심의 위치를 찾게 한다. 마지막으로 “점 R이 ∠A와 ∠B의 이등분선 위에 있고, RA=RB=RC이다”와 같은 문장을 주어 내심과 외심의 조건 중 무엇이 확인되는지 구분하게 한다. 시간 제한도 5분으로 정해 작도, 기호 표시, 정의 설명까지 완료하는지 본다. 답이 맞아도 근거가 빠지면 완료로 기록하지 않는다.
지축동 학습 환경에서의 점검
지축동에는 지축중학교가 있으며, 같은 덕양구의 가람중학교·고양제일중학교·고양중학교·능곡중학교는 통학권을 살필 때 참고할 수 있는 학교다. 학교별 출제 경향을 단정하기보다 자녀의 귀가 시각과 과제량, 시험 준비 순서를 기준으로 학습 계획을 조정하는 것이 현실적이다. 지축LH8단지와 지축역센트럴푸르지오아파트 등 생활권에서 이동하는 학생도 주중에는 현재 시험범위의 미완료 항목을 먼저 확인하도록 한다.
과외에서 확인하는 학생의 변화
수업 중에는 학생이 교사의 그림을 따라 그리는 데 그치지 않도록 빈 도형을 직접 작도하게 한다. “왜 내심인가?”라는 질문에 “안쪽에 있어서”라고 답하면 각의 이등분선 표시를 다시 요구하고, “왜 외심인가?”라는 질문에는 중점과 수직 조건을 말하게 한다. 이후 학생이 새 도형에서도 조건을 먼저 표시하고, 중심의 정의와 성질을 구분해 서술하면 선행 진도를 늘릴 기준이 마련된다.
FAQ
외심이 삼각형 밖에 있으면 외심이 아닌가요?
아니다. 둔각삼각형에서는 외심이 삼각형 밖에 있을 수 있다. 세 변의 수직이등분선의 교점인지 확인해야 한다.
내심과 외심을 그림만 보고 구분해도 되나요?
그림의 위치는 보조 자료일 뿐이다. 내심은 각의 이등분선, 외심은 변의 수직이등분선이라는 작도 조건을 근거로 판단해야 한다.