성사동중3수학과외, sin을 계산하기 전에 뜻과 적용 조건부터 확인하기
학생이 직각삼각형에서 sin 30°을 보자마자 계산기를 누르거나, 그림에 표시된 각을 확인하지 않은 채 “sin은 작은 변을 긴 변으로 나누는 것”이라고 말하는 경우가 있다. 결과가 우연히 맞더라도 이 풀이로는 각도가 바뀌거나 도형이 회전했을 때 다시 적용하기 어렵다. 중3 삼각비에서 먼저 확인할 것은 계산 속도가 아니라 기준각과 변의 관계다.
sin 30°의 값보다 먼저 읽어야 하는 것
직각삼각형에서 어떤 예각을 기준으로 삼았을 때 sin은 다음과 같이 정해진다.
sin(기준각) = 대변 ÷ 빗변
여기서 대변은 기준각과 마주 보는 변이고, 빗변은 직각의 맞은편에 있는 가장 긴 변이다. 빗변은 기준각이 바뀌어도 그대로지만 대변과 인접변은 기준각에 따라 달라진다. 따라서 “높이처럼 보이는 변”이나 “왼쪽에 있는 변”을 무조건 대변이라고 부르면 안 된다.
예를 들어 직각삼각형 ABC에서 ∠C=90°, ∠A=30°, BC=5, AB=10이라면 AB가 빗변이고, A를 기준각으로 할 때 BC가 대변이다.
sin A = BC ÷ AB = 5 ÷ 10 = 1/2
학생이 이 문제에서 5÷AC를 적었다면 계산 실수라기보다 변의 이름을 결정하는 기준이 빠진 것이다. 먼저 각 A에 동그라미를 치고, 각 A와 마주 보는 BC를 표시한 뒤 직각의 맞은편 AB를 빗변으로 표시해야 한다.
같은 그림에서도 기준각이 바뀌면 sin의 식이 달라진다
이번에는 같은 삼각형에서 ∠B를 기준으로 생각해 보자. 빗변은 여전히 AB이지만, B와 마주 보는 변은 AC가 된다. 따라서 sin B는 AC÷AB이다. 한 도형 안에서 sin A와 sin B를 구할 때 분모가 같다는 이유만 보고 분자를 그대로 두면 안 된다.
이때 학생에게 “sin은 무엇인가?”라고 묻기보다 “지금 기준으로 잡은 각은 어디인가?”, “그 각과 마주 보는 변은 어디인가?”, “직각의 맞은편 변은 무엇인가?”를 차례로 말하게 하는 편이 정확하다. 식을 외우는 행동을 기준각 확인 행동으로 바꾸는 것이다.
기준각 표시 → 대변 찾기 → 직각의 맞은편에서 빗변 확인 → 대변/빗변 작성
이 네 단계를 거치면 그림이 오른쪽으로 돌아가거나 삼각형이 기울어져 있어도 위치가 아니라 관계로 판단할 수 있다.
“sin은 높이 나누기 빗변”이라는 설명을 고쳐 쓰기
학생이 sin을 “높이를 빗변으로 나눈 값”이라고 설명했다면 그 말이 항상 틀렸다고 하기는 어렵다. 수평면 위에 놓인 도형에서 높이가 기준각의 대변과 일치할 수 있기 때문이다. 그러나 삼각형을 회전하거나 기준각을 바꾸면 높이라는 표현만으로는 부족하다. 정확한 설명은 “선택한 예각에 마주 보는 변의 길이를 빗변의 길이로 나눈 값”이다.
이 언어를 식과 연결해 확인한다. ∠P=40°인 직각삼각형에서 빗변의 길이가 12이고 P의 대변이 7이라면
sin 40° = 7/12
이다. 반대로 대변을 구해야 한다면 sin 40°=x/12에서 x=12sin40°로 정리한다. 여기서 12를 곱하는 이유도 “공식이니까”로 끝내지 않고, 양변에 12를 곱해 분모를 없앤 결과라고 설명하게 한다.
정답 계산 전에 적용 조건을 점검하는 짧은 표
- 삼각형에 직각이 표시되어 있는가?
- 구하려는 각이 직각이 아닌 예각인가?
- 선택한 각과 마주 보는 변을 찾았는가?
- 직각의 맞은편 변을 빗변으로 정했는가?
- 주어진 변과 구할 변의 관계가 대변/빗변인가?
sin을 사용한다고 먼저 정해 놓고 변을 끼워 맞추는 것이 아니라, 구하려는 두 변의 관계를 보고 sin이 맞는지 판단해야 한다. 대변과 빗변이 주어졌다면 sin을 사용할 수 있지만, 인접변과 빗변의 관계라면 cos, 대변과 인접변의 관계라면 tan을 검토해야 한다. 다만 이 판단의 출발점은 언제나 기준각과 직각 표시다.
성사동에서 통학 부담이 커져도 풀이 절차는 짧게 유지하기
성사동에는 성사중학교가 확인되어 있고, 같은 덕양구의 가람중학교·고양제일중학교·고양중학교·능곡중학교는 참고할 수 있는 학교이지 성사동 소재 학교로 볼 수는 없다. 또한 제공된 자료에서는 성사동만의 특정 역·아파트·상권명을 확인할 수 없으므로 통학 장소를 임의로 덧붙이지 않는다. 학교에서 고등학교로 이동하는 시기에는 통학 시간과 과제, 시험 준비가 함께 늘어날 수 있어 긴 풀이를 반복하기보다 문제를 보자마자 기준각과 직각을 표시하는 습관이 효율적이다.
학습 시간에는 한 문항을 오래 붙잡기보다 학생이 처음 적은 식을 남겨 둔다. 예를 들어 sin A=AC/AB라고 썼다면 AC가 A의 대변인지 그림에서 선으로 연결하고, 아니면 왜 바꿔야 하는지 말하게 한다. 그 뒤 같은 그림을 그대로 다시 풀지 않고, 기준각을 B로 바꾸거나 삼각형의 방향을 바꾼 문제를 제시한다.
숫자와 그림이 바뀐 뒤에도 첫 행동이 남아 있는가
새 문제에서 ∠Q=35°, 직각은 R, QR=8, PQ=13이라고 하자. Q를 기준으로 sin을 쓰려면 Q와 마주 보는 PR이 대변이고, 직각 R의 맞은편 PQ가 빗변이다. 따라서 sin Q=PR/PQ이다. PR의 길이가 직접 주어지지 않았다면 학생은 주어진 숫자만 보고 8/13을 sin Q로 적어서는 안 된다. 8은 Q에 붙은 변이므로 인접변이며, 먼저 필요한 변을 구하거나 다른 삼각비를 검토해야 한다.
이 장면은 단순히 답을 맞혔는지보다 조건을 읽었는지를 보여 준다. 도움 없이 Q에 표시하고, R의 맞은편을 빗변으로 찾고, 8의 위치를 인접변이라고 말한다면 sin의 뜻을 새 조건에 적용한 것이다. 반대로 숫자 8과 13을 바로 나누었다면 공식 암기에서 아직 벗어나지 못한 상태이므로 같은 문제를 반복하기보다 기준각이 달라진 한 문항으로 다시 판단하게 해야 한다.
삼각비 학습에서 확인할 기준은 sin 값을 외웠는지가 아니다. 그림의 방향, 변의 이름, 숫자와 문장 순서가 달라져도 기준각을 먼저 찾고 대변과 빗변의 관계를 근거로 식을 세우는지가 실제 적용 수준을 결정한다.