성사동중1수학과외, 다각형을 눈으로만 판단한 정답을 근거와 검산으로 바꾸기
“이 각은 그림에서 봐도 같아 보여요.” 중1 다각형 문제에서 자주 나오는 말이다. 답은 맞혔지만 풀이 과정에는 각의 표시도, 변의 관계를 확인한 흔적도 없는 경우가 있다. 이런 문제는 정답만 보면 해결된 것처럼 보이지만, 그림이 회전되거나 조건이 추가되면 다시 틀릴 가능성이 높다. 성사동중1수학과외에서는 다각형 문제를 맞고 틀린 결과만으로 분류하지 않고, 풀이 속도와 근거 표시, 조건 검산까지 함께 확인한다.
눈으로 판단하는 풀이에서 나타나는 장면
예를 들어 오각형의 네 내각이 110°, 95°, 120°, 105°일 때 나머지 한 각을 구하는 문제를 생각해 보자. 학생이 먼저 오각형의 내각의 합을 사용하지 않고 그림의 각 크기를 눈대중으로 비교하거나, 주어진 각을 도형의 위치에 맞춰 다시 적지 않고 바로 계산하면 다음과 같은 오답이 나온다.
110+95+120+105=430, 따라서 남은 각은 360-430=-70°
계산 자체보다 먼저 확인할 것은 오각형의 내각의 합이 540°라는 점이다. 따라서 남은 각은 540-430=110°이다. 이때 학생은 단순히 식을 고치는 데서 끝내지 않고, 그림의 각 네 곳에 주어진 수를 표시하고 구하는 각에 물음표를 적어야 한다. 도형을 보며 임의로 판단한 것이 아니라, 오각형의 내각의 합이라는 조건을 사용했다는 사실이 풀이에 남아야 한다.
정답을 맞힌 문제도 다시 나누어 보는 기준
다각형 문제는 세 가지 기준으로 기록한다. 첫째는 제한된 시간 안에 문제의 조건을 읽고 시작했는가이다. 둘째는 변, 각, 대각선, 평행 여부처럼 필요한 정보를 그림에 표시했는가이다. 셋째는 계산 후 결과가 문제의 조건에 맞는지 확인했는가이다.
- 빠르게 맞혔지만 그림에 표시가 없고 이유를 말하지 못한 문제
- 표시는 했지만 내각의 합이나 삼각형 분할 근거를 빠뜨린 문제
- 식과 답은 맞지만 계산 결과를 원래 조건에 대입하지 않은 문제
- 시간은 걸렸어도 조건 표시와 검산까지 끝낸 문제
마지막 유형이 실제로 재사용할 수 있는 풀이에 가깝다. 반대로 첫 번째 유형은 정답으로 처리하지 않고 ‘시각 판단 의존’으로 남겨야 한다. 오답노트에 문제를 길게 다시 쓰기보다, 왜 맞혔는지와 어떤 조건을 표시하지 않았는지를 한 줄로 적는 방식이 효율적이다.
표시를 먼저 하고 식을 고르는 연습
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 문제에서 “한 다각형의 내각의 합이 900°일 때 몇 각형인지 구하여라”라고 했을 때 학생은 그림이 없다는 이유로 식을 쓰지 못할 수 있다. 이 문제에서는 눈으로 판단할 그림이 없으므로 내각의 합 공식에 필요한 관계를 먼저 적는다.
다각형을 삼각형으로 나누면 삼각형의 개수는 n-2개이고, 내각의 합은 180(n-2)°이다. 따라서 180(n-2)=900, n-2=5, n=7이므로 칠각형이다. 이 과정에서 학생이 해야 할 일은 공식을 외워 적는 것이 아니라, ‘구할 것: 변의 수 n’, ‘전체 내각의 합: 900°’를 구분하고 두 값을 연결하는 것이다.
그림이 있는 문제에서는 먼저 도형의 꼭짓점에 번호를 붙인다. 각 A, B처럼 필요한 위치를 표시하고, 평행이나 수직이라는 조건이 제시되었다면 해당 변에 기호를 적는다. 대각선을 그어 삼각형으로 나누는 문제라면 어느 꼭짓점에서 선을 그었는지 남긴다. 그러면 같은 도형을 다시 보지 않아도 어떤 합을 사용했는지 확인할 수 있다.
설명을 길게 늘이지 않는 수정 방식
오류가 난 위치 한 곳만 고친다. 내각의 합을 잘못 사용했다면 ‘오각형 → 180×(5-2)=540°’라고 적고, 조건을 표시하지 않았다면 그림에 각 번호와 주어진 값을 다시 표시한다. 계산 실수와 개념 선택 실수를 한꺼번에 고치려고 하면 학생이 무엇을 바꿔야 하는지 놓치기 쉽다.
검산은 계산을 다시 하는 것이 아니다. 구한 각을 원래 내각의 합에 넣어 전체가 540°가 되는지 확인한다. 앞의 예에서 110+95+120+105+110=540이므로 조건에 맞는다. 답이 110°로 나왔더라도 오각형이 아닌 다른 도형의 합을 사용했다면 검산 단계에서 오류를 찾을 수 있다.
다음 문제에서 독립적으로 적용하는지 확인하기
같은 문제를 바로 다시 풀게 하는 것만으로는 충분하지 않다. 다음 날에는 주어진 각을 110°, 95°, 120°, 105°가 아닌 다른 수로 바꾸고, 도형을 회전한 그림으로 제시한다. 학생은 그림의 방향에 의존하지 않고 꼭짓점과 주어진 각을 표시한 뒤, 오각형의 내각의 합을 사용해야 한다.
그다음에는 “한 외각의 크기가 60°인 정다각형”처럼 조건을 바꾼다. 이 경우 정다각형의 외각의 합이 360°이므로 변의 수는 360÷60=6이다. 내각의 합 문제와 비슷하게 생겼지만 사용해야 할 조건은 다르다. 학생이 이전 식을 기계적으로 복사하지 않고 외각이라는 단어를 표시해 식을 선택하는지 확인한다.
일주일 뒤에는 그림 없이 서술형으로 제시한다. “육각형의 한 외각의 크기가 모두 같을 때 한 외각의 크기를 구하고 이유를 쓰시오.”라는 문제에서 360÷6=60°만 쓰면 부분 설명에 그칠 수 있다. “다각형의 외각의 합은 360°이고, 정육각형은 외각이 6개이므로 360÷6=60°이다”처럼 조건과 계산의 연결을 문장으로 남겨야 한다.
성사동의 학교 학습을 준비할 때는 지역 내 성사중학교의 수업과 학교 과제를 기준으로 실제 프린트와 교과서 문제의 표시 방식을 맞추는 것이 우선이다. 같은 덕양구의 가람중학교, 고양제일중학교, 고양중학교, 능곡중학교는 참고 학교일 뿐 성사동 소재 학교로 단정하지 않는다. 학교와 과제가 많아지는 시기일수록 다각형 문제를 단순 완료 개수로 세기보다, 표시·근거·검산이 남아 있는 문제인지 확인해야 다음 변형 문제에서도 풀이가 유지된다.