삼송동중2수학과외, 경우의 수에서 중복과 누락을 막는 조건표 작성
경우의 수 문제를 풀 때 답이 틀리는 이유가 계산식에만 있는 것은 아니다. 삼송동의 중2 학생들 가운데에는 가능한 경우를 빠르게 나열하려다가 같은 경우를 두 번 세거나, 조건에 맞는 경우 하나를 빼먹는 모습이 자주 나타난다. 특히 친구의 선행 속도를 의식하면 풀이를 설명하기보다 머릿속으로만 정리하고 바로 답을 적으려 한다.
이때 필요한 것은 더 많은 문제를 무작정 푸는 일이 아니다. 어떤 대상을 먼저 고정할지, 다음 선택에서 무엇이 달라지는지, 같은 결과를 다시 세고 있지는 않은지를 표나 수형도로 확인하는 절차가 먼저다.
나열 속도보다 먼저 확인할 것
예를 들어 숫자 1, 2, 3, 4 중 서로 다른 두 개를 골라 두 자리 수를 만드는 문제를 생각해 보자. 십의 자리와 일의 자리를 구분하면 12와 21은 서로 다른 수다. 십의 자리를 먼저 정하면 1에서 4까지 네 가지, 일의 자리는 남은 세 가지이므로 전체 경우의 수는 4×3=12이다.
반대로 “두 수를 순서 없이 고른다”는 조건이라면 1과 2, 2와 1을 따로 세면 안 된다. 같은 숫자를 고르는지, 순서를 구분하는지에 따라 나열 방법이 달라진다. 학생이 문제의 조건을 읽지 않고 숫자만 적기 시작하면 중복과 누락이 동시에 생긴다.
경우의 수에서는 “무엇을 먼저 정했는가”보다 “그 기준이 끝까지 겹치지 않고 빠짐없이 이어지는가”를 확인해야 한다.
삼송동 학생에게 나타난 실제 오답 장면
한 학생은 “A, B, C 세 명 중 회장과 부회장을 한 명씩 뽑는 경우”를 풀면서 AB, AC, BA, BC, CA, CB를 적었다. 여기까지는 6가지로 맞았다. 그런데 조건에 “A가 회장이 될 수 없다”가 붙자 A를 회장으로 둔 경우만 지워야 하는데, A가 포함된 경우를 모두 지워 AB와 AC뿐 아니라 BA와 CA까지 삭제했다. 답을 2가지라고 적은 것이다.
이 오답은 단순 계산 실수가 아니다. 회장과 부회장의 역할을 구분하지 못한 조건 판단 오류다. 또 다른 문제에서는 남학생 2명과 여학생 2명 중 한 명씩 짝을 만드는 상황에서 첫 번째 학생을 고정하지 않고 조합을 계속 적다가 같은 짝을 순서만 바꾸어 반복했다. 학생은 두 문제 옆에 모두 ‘계산 실수’라고만 기록했다.
다음 날에는 문제의 숫자만 바뀌었는데도 조건 표시와 중간 나열을 생략했다. 친구보다 풀이가 느리다는 생각 때문에 답만 맞히려 한 결과, 어떤 단계에서 실패했는지 확인할 근거가 남지 않았다.
오답 원인을 다섯 칸으로 나누기
오답 옆에는 다음 다섯 항목 중 하나만 선택하게 한다.
- 개념: 순서를 구분하는 문제인지 구분하지 않는 문제인지 판단하지 못한 경우
- 조건: “A는 회장이 될 수 없다”, “적어도 한 명은 여학생” 같은 제한을 빠뜨린 경우
- 계산: 나열은 정확했지만 곱셈이나 덧셈을 잘못한 경우
- 표현: 표나 수형도를 만들었지만 같은 기준으로 정리하지 않아 풀이가 읽히지 않는 경우
- 시간: 방법은 알고 있으나 제한 시간 안에 전체 경우를 확인하지 못한 경우
학생은 오답 아래에 “다음에는 십의 자리부터 고정한다”, “회장 조건에 해당하는 경우만 지운다”, “같은 결과를 순서만 바꾸어 다시 세지 않는다”처럼 다음 행동을 한 줄로 적는다. ‘복습하기’라는 말 대신 실제 풀이 동작을 남기는 방식이다.
수형도와 목록을 함께 사용하는 훈련
처음에는 자료를 하나의 조건으로 제한한다. 예를 들어 1, 2, 3, 4 중 두 개를 골라 순서 있는 두 자리 수를 만들 때 십의 자리를 1로 고정하고 12, 13, 14를 적는다. 이어서 십의 자리를 2, 3, 4로 바꾸며 각 줄의 개수가 3개인지 확인한다. 이 방법은 빠진 경우를 찾기 쉽고, 같은 수를 반복했는지도 눈에 보인다.
조건이 붙으면 목록 옆에 조건 기호를 표시한다. “짝수”라면 일의 자리가 2 또는 4인 경우에 동그라미를 치고, “3의 배수”라면 각 숫자의 합을 확인한다. 조건을 마지막에 한꺼번에 판단하지 않고, 각 가지가 만들어질 때 표시하는 것이다.
두 단계 선택에서는 수형도를 그린다. 첫 번째 선택 아래에 두 번째 선택을 연결하고, 이미 사용한 대상은 다음 가지에서 제외한다. 순서를 구분하지 않는 문제라면 1-2를 적은 뒤 2-1을 다시 만들지 않도록 작은 수부터 큰 수 방향으로만 기록한다.
시간이 부족한 날에는 새 문제를 계속 추가하지 않는다. 기존 오답 하나를 펼쳐 조건에 밑줄을 긋고, 첫 기준을 네모로 표시하고, 각 가지의 개수를 세고, 마지막에 중복 여부를 확인한다. 이 네 가지를 제한 시간 안에 수행하는 훈련으로 전환한다.
학교 자료를 다른 형태로 바꿔 검증하기
학교 프린트에서 “학생 4명 중 회장과 부회장을 뽑는 경우”를 다뤘다면, 검증에서는 학생 수를 5명으로 바꾸고 “A는 부회장이 될 수 없다”는 조건을 추가한다. 회장 5가지에서 부회장 후보 4가지가 기본이지만, A가 부회장이 되는 경우는 회장 후보 4가지이므로 전체는 20-4=16가지다.
학생이 16이라는 답만 말하는지, 또는 회장을 먼저 정한 뒤 조건에 따라 부회장 후보 수가 달라진다고 설명하는지 확인한다. 이어 “두 명을 순서 없이 대표로 뽑는다”로 표현을 바꾸어 5명 중 2명을 고르는 문제를 제시한다. 이때 20이라고 답하면 역할이 없는 선택에서 순서를 중복한 것이다. 올바른 경우의 수는 5×4÷2=10이다.
마지막에는 수행평가 자료의 표를 지필형 문장으로 바꾼다. 그림이나 표가 사라져도 학생이 먼저 선택 기준을 세우고, 조건에 맞지 않는 가지를 표시하며, 누락과 중복을 설명하는지 본다. 숫자, 조건, 문제 형식이 모두 달라진 새 문제에서 같은 구조를 재현해야 독립 적용이 확인된다.
삼송동의 학습 시간과 자료 활용
삼송동에서는 삼송16단지와 삼송마을18단지 등 생활권 안에서 학교와 학원, 귀가 동선이 이어진다. 지역 내 학교로는 고양중학교가 확인되며, 가람중학교·고양제일중학교·능곡중학교·덕양중학교는 같은 덕양구의 참고 학교이지 삼송동 소재 학교로 단정하지 않는다. 방과 후 이동 시간이 길어진 날에는 새 단원보다 학교 프린트의 경우의 수 한 문제를 골라 조건표와 수형도를 다시 만드는 편이 효율적이다.
삼송동중2수학과외에서는 학생의 오답 수보다 오답 옆에 남은 판단 과정을 본다. 경우를 세는 속도가 느려도 기준을 세우고, 조건을 표시하고, 새 숫자와 새 표현에서 같은 구조를 설명한다면 다음 시험에서 흔들리지 않는 풀이로 이어질 수 있다.
자주 묻는 질문
경우의 수를 많이 풀면 중복이 자연스럽게 줄어드나요?
문제 수만 늘리면 같은 실수를 반복할 수 있다. 순서 구분, 조건 표시, 첫 선택 기준을 매번 기록해야 중복과 누락의 원인을 찾을 수 있다.
수형도를 모든 문제에 그려야 하나요?
경우가 적고 기준이 분명하면 표나 목록으로 충분하다. 선택 단계가 늘어나거나 조건이 여러 개면 수형도로 가지를 분리하는 편이 안전하다.
중1 내용을 전부 다시 해야 하나요?
필요하지 않다. 곱셈과 덧셈으로 각 가지의 수를 세는 데 막힐 때만 해당 부분을 짧게 확인하고 곧바로 현재 중2 경우의 수 문제로 돌아온다.