동산동중3수학과외, 풀이 근거와 검산으로 다시 보는 sin의 뜻
“sin 30°니까 30을 쓸게요.” 동산동의 한 중3 학생은 직각삼각형에서 이렇게 적은 뒤, 변의 길이를 묻는 문제에 바로 계산기를 사용하려 했다. 학생이 알고 있던 것은 sin이라는 기호와 몇몇 각도의 값이었지만, 그 값이 어떤 두 변의 비를 나타내는지는 설명하지 못했다. 답이 맞는지 확인할 때도 계산 결과만 다시 입력할 뿐, 직각삼각형의 어느 변을 사용했는지는 돌아보지 않았다.
중3 삼각비에서 sin은 각도 자체의 이름이 아니다. 기준각을 정한 뒤, 그 각에 마주 보는 변의 길이를 빗변의 길이로 나눈 비다. 따라서
sin A = 대변 ÷ 빗변
이라고 적을 수 있다. 여기서 대변은 기준각 A와 마주 보는 변이고, 빗변은 직각의 맞은편에 있는 가장 긴 변이다. 기준각이 달라지면 대변도 달라질 수 있지만, 빗변은 직각을 기준으로 결정된다. 학생이 먼저 해야 할 일은 sin 값을 외우는 것이 아니라 기준각, 직각, 두 변의 위치를 표시하는 것이다.
30°를 숫자로 읽지 않고 두 변의 비로 해석하기
예를 들어 직각삼각형 ABC에서 ∠C=90°, ∠A=30°, BC=5, AB가 빗변이라고 하자. ∠A를 기준으로 하면 BC는 대변이고 AB는 빗변이므로
sin 30° = BC ÷ AB = 5 ÷ AB
가 된다. sin 30°=1/2이므로 1/2=5/AB, 따라서 AB=10이다. 학생이 “sin 30°는 30”이라고 생각하면 변의 비를 세우는 첫 줄부터 사라진다. 반대로 “기준각 A에서 마주 보는 변은 BC”라고 말하게 하면 공식은 외운 문장이 아니라 문제의 그림에서 직접 결정된다.
이때 풀이 근거는 한 줄로도 충분히 드러낼 수 있다. “∠A의 대변은 BC=5, 빗변은 AB이므로 sin A=5/AB이다.” 이 문장을 먼저 말한 뒤 식을 세우면, 숫자를 잘못된 변에 대입하는 오류를 줄일 수 있다.
같은 삼각형에서도 기준각이 바뀌면 식이 달라진다
학생이 자주 멈추는 장면은 같은 그림에 ∠B가 추가된 경우다. 앞의 삼각형에서 ∠B=60°라면 ∠B를 기준으로 한 대변은 AC이고, 빗변은 여전히 AB이다. 따라서 sin B=AC/AB이다. BC/AB를 그대로 다시 쓰면 ∠A를 기준으로 한 비를 사용한 셈이다.
이를 확인하기 위해 기준각 A와 B를 색깔이나 표시로 구분한 뒤, 각에서 마주 보는 변을 선으로 연결하게 한다. “sin은 항상 세로로 놓인 변을 고르는가?”처럼 방향으로 판단하지 않고, “이 각과 마주 보는 변인가?”라고 질문해야 한다. 도형이 회전되거나 기준각이 아래쪽에 표시되어도 판단 기준은 직각과 기준각의 위치다.
맞힌 답에도 대변과 빗변의 근거를 붙인다
길이 8인 빗변과 30°의 기준각이 주어졌을 때 대변을 x라고 하면 sin 30°=x/8이다. 1/2=x/8에서 x=4가 된다. 학생이 답 4를 맞혔더라도, “30°에서 sin 값이 1/2라서”만 적었다면 풀이가 완성된 것은 아니다. 1/2가 x와 8의 비라는 점, x가 기준각의 대변이라는 점이 함께 있어야 한다.
검산은 계산기를 다시 누르는 절차가 아니다. 구한 x=4를 원래 비에 대입하여 x/8=4/8=1/2인지 확인하고, sin 30°의 값과 일치하는지 살펴본다. 또한 대변은 빗변보다 길 수 없으므로 x=4가 삼각형의 길이 조건에도 맞는지 점검한다. 만약 대변을 10, 빗변을 8로 구했다면 비율이 1보다 커져 sin의 범위와 맞지 않는다는 사실도 오류를 찾는 단서가 된다.
동산동 생활권의 이동 시간에도 풀이 순서를 적용한다
동산마을21단지와 동산마을24단지 등이 포함된 동산동 생활권에서 중학교와 고등학교 진학을 준비할 때는 통학 동선과 과제, 시험 일정이 함께 늘어날 수 있다. 다만 제공된 주소 자료에서는 동산동 소재 중학교가 확인되지 않았고, 가람중학교·고양제일중학교·고양중학교·능곡중학교·덕양중학교는 같은 덕양구의 참고 학교다. 이 학교들을 동산동 소재 학교로 단정하기보다, 학생이 실제로 접하는 학교 프린트와 이동 시간을 기준으로 풀이 점검 시간을 정하는 편이 정확하다.
짧은 이동 전후에도 학생이 남길 기록은 세 가지로 제한한다. 기준각에 표시하기, 대변과 빗변의 이름 쓰기, 구한 값을 원래 비에 대입하기다. 공식 전체를 다시 베껴 쓰는 것보다 현재 틀린 지점을 바로 확인하는 방식이다.
표현이 바뀐 새 문제에서 스스로 확인하기
다음 문제에서는 숫자와 질문을 바꾼다. 직각삼각형 PQR에서 ∠Q=90°, ∠P=45°, PR=12일 때 QR의 길이를 구하는 상황이다. 학생은 먼저 ∠P와 직각을 표시하고, QR이 ∠P의 대변이며 PR이 빗변임을 적어야 한다. 그러면 sin 45°=QR/12, 즉 √2/2=QR/12이므로 QR=6√2가 된다.
마지막에는 6√2를 비에 다시 넣어 (6√2)/12=√2/2인지 확인한다. 숫자 30°와 5가 사라지고, 빗변이 다른 위치에 놓였어도 학생이 기준각을 찾고 대변·빗변을 구분했다면 이전 답을 기억한 것이 아니라 sin의 뜻을 사용한 것이다. 동산동중3수학과외에서 확인할 기준도 바로 이 첫 행동과 검산 근거다.