고양동고3수학과외

“대칭구간이니까 두 배”라고 쓴 줄에서 오답이 시작됐다. 고양동 고3 수학과외에서 확인한 학생의 풀이에는 다음과 같은 계산이 있었다.

∫_-2²(x³−4x)dx = 2∫₀²(x³−4x)dx = 2(4−8) = −8

이 식은 틀린 중간식이다. 함수 f(x)=x³−4x는 f(−x)=−f(x)이므로 홀함수이고, 대칭구간 [−2, 2]에서 양의 부분과 음의 부분이 서로 상쇄된다. 따라서 전체 적분은 0이어야 한다. 2배를 적용할 수 있는 것은 짝함수일 때이며, 홀함수에서는 0으로 처리해야 한다.

계산 전 함수와 구간을 함께 확인하기

학생은 귀가 후 과제량이 많은 날 계산부터 시작하면서 함수의 종류를 확인하지 않았다. 풀이 첫 줄에 상한과 하한, 구간의 대칭 여부, 함수의 부호 변화를 차례로 표시하게 했다.

• 구간: [−2, 2]이므로 원점 대칭 구간
• 함수: f(−x)=(−x)³−4(−x)=−x³+4x=−f(x)
• 판정: f(x)는 홀함수
• 결론: ∫₋₂²f(x)dx=0

그 뒤 틀린 줄에 표시를 하고, “2배는 짝함수 조건에서만 가능하다”고 옆에 적었다. 직접 원시함수로도 확인하면

∫₋₂²(x³−4x)dx = [x⁴/4−2x²]₋₂² = (4−8)−(4−8)=0

이처럼 대칭성으로 얻은 답을 원시함수에 대입해 역검산하면, 홀함수를 짝함수처럼 두 배한 −8이 잘못되었음을 바로 확인할 수 있다. 상한과 하한의 방향도 함께 점검하여 ∫₂⁻²f(x)dx라면 부호가 바뀌지만, 0인 결과 자체는 변하지 않는다는 점도 확인했다.

계수를 바꾼 검증 문제

같은 문제를 반복하지 않고 다음 문제를 풀게 했다.

∫₋₁¹(x⁴−6x²+1)dx

이번 함수는 f(−x)=f(x)이므로 짝함수이다. 따라서

∫₋₁¹(x⁴−6x²+1)dx
=2∫₀¹(x⁴−6x²+1)dx
=2[x⁵/5−2x³+x]₀¹
=2(1/5−2+1)=−8/5

학생은 먼저 함수의 홀짝을 판정한 뒤 2배를 적용했고, 원시함수에 1과 0을 대입해 −8/5를 다시 확인했다. 고양동과 덕양구 내 학교에서 귀가한 뒤 짧은 시간에 과제를 처리할 때도 계산 속도보다 함수와 구간의 관계를 첫 줄에 남기는 습관이 오답을 줄이는 핵심이 된다.