고양동고1수학과외: 작은 경우의 나열과 접선 조건의 공식화
고양동에서 학교 과제와 시험 준비를 함께 진행할 때는 풀이를 시작하기 전 문제의 규모와 조건을 먼저 구분해야 한다. 특히 원과 직선의 관계를 묻는 문제에서는 접점과 중심, 직선까지의 거리를 그림에 표시하면 작은 경우에는 직접 확인할 수 있지만, 조건이 많아지면 거리와 반지름의 관계를 식으로 공식화하는 편이 안전하다.
그림을 건너뛴 뒤 생긴 오답
학교 프린트에 원 $(x-2)^2+(y+1)^2=9$과 직선 $y=3$의 관계를 판단하는 문제가 있었다. 원의 중심은 $C(2,-1)$, 반지름은 $3$이다. 학생은 그림에 중심과 직선을 표시하지 않고 곧바로 연립했다.
$y=3$을 대입하면 $(x-2)^2+16=9$이므로 교점이 없다.
이 계산은 실제로는 맞다. 그러나 답안에는 중심, 직선까지의 거리, 접점 여부를 판단한 근거가 남아 있지 않았다. 문제의 조건이 조금만 바뀌면 같은 방식으로 식을 세우다가 부호를 놓치거나, 교점이 하나인 경우와 없는 경우를 구분하지 못할 가능성이 있다.
접 여부는 거리와 반지름으로 먼저 판정한다
중심 $C(2,-1)$에서 직선 $y=3$까지의 거리는
$$|{-1}-3|=4$$
이다. 반지름은 $3$이므로 중심에서 직선까지의 거리가 반지름보다 크다. 따라서 직선과 원은 만나지 않는다.
반대로 직선이 $y=2$라면 중심에서 직선까지의 거리는
$$|{-1}-2|=3$$
으로 반지름과 같다. 이때 직선은 원에 접하고, 접점의 좌표는 원의 중심에서 직선에 내린 수선의 발인 $(2,2)$이다. 거리가 반지름보다 작으면 두 점에서 만나고, 크면 만나지 않는다.
- $d<r$: 두 교점
- $d=r$: 한 접점
- $d>r$: 교점 없음
경우가 적을 때와 많을 때의 풀이 선택
직선이 몇 개 되지 않고 각 직선의 위치가 그림에 분명히 나타난다면 중심에서 직선까지의 거리를 직접 비교해 결과를 나열할 수 있다. 예를 들어 같은 원에 대해 $y=2$, $y=5$, $y=-4$를 차례로 조사하면 거리는 각각 $3, 6, 3$이다. 따라서 첫째와 셋째 직선은 접하고, 둘째 직선은 만나지 않는다.
그러나 직선이 $y=k$처럼 문자로 주어지거나 여러 조건을 동시에 만족해야 한다면 직접 나열하는 대신
$$|k+1|=3$$
과 같이 중심에서 직선까지의 거리와 반지름을 공식화해야 한다. 이를 풀면 $k=2$ 또는 $k=-4$이고, 두 직선이 모두 접선이라는 결론을 얻는다. 작은 수의 구체적인 경우는 표시하고 비교하는 것이 빠르며, 매개변수나 많은 경우가 등장하면 관계식을 세우는 것이 효율적이다.
답안에 남겨야 할 한 줄
학생의 풀이에서는 접점·중심·거리 조건을 표시하지 않은 채 다음 계산으로 넘어갔다. 수정할 때는 문제 옆에 먼저 “중심에서 직선까지의 거리와 반지름 비교”라고 적고, 실제 답안에는 다음 네 요소를 순서와 관계가 드러나게 남긴다.
- 중심과 반지름 확인
- 직선까지의 거리 계산
- 거리와 반지름의 대소 비교
- 두 교점, 한 접점, 교점 없음 중 결론 제시
정답만 다시 적는 대신 $d=3=r$이므로 접한다는 식과 결론을 함께 기록해야 한다. 오답노트에는 긴 해설보다 ‘그림에 중심·직선·거리 표시 후 비교’라는 바뀐 행동 한 가지를 남긴다.
서술형으로 바꾼 뒤 확인한 적용
수행평가 자료를 지필형 문제로 바꾸어 다음 조건을 제시한다.
원 $(x-1)^2+(y-3)^2=16$에 직선 $y=k$가 접하도록 하는 실수 $k$의 값을 구하고, 그 이유를 서술하라.
중심은 $(1,3)$, 반지름은 $4$이므로 중심에서 직선까지의 거리는 $|3-k|$이다. 접하려면
$$|3-k|=4$$
이어야 하므로 $k=7$ 또는 $k=-1$이다. 두 값 모두 직선과 원의 거리가 반지름과 같으므로 접선이 된다.
이 변형 문제에서는 숫자만 바뀐 답을 적는지 보지 않는다. 피곤한 날에는 긴 계산보다 그림에 조건을 표시하고 거리 비교를 먼저 하는 학습으로 조정하는지, 또 식뿐 아니라 사용한 조건과 결론까지 서술하는지를 확인한다. 귀가 시각과 과제량에 따라 짧은 직접 비교 문제와 문자 조건 문제의 순서를 달리하되, 답안에 판단 근거가 남아 있을 때 해당 개념을 실제로 적용한 것으로 본다.