단원구중3수학과외, 표준편차를 계산한 뒤에도 해석을 확인하는 연습
학생이 다음과 같이 답안을 적었다.
자료 A의 평균은 70점, 자료 B의 평균은 70점이다. 따라서 두 자료의 성적 분포도 같다.
평균을 각각 구한 계산은 맞았다. 하지만 이 답은 통계 문제를 끝까지 해결한 것이 아니다. 평균이 같다는 사실만으로 자료의 흩어진 정도까지 같다고 판단할 수는 없기 때문이다. 중3 통계에서는 평균, 편차, 분산, 표준편차를 계산하는 과정뿐 아니라 그 값이 자료의 분포를 어떻게 설명하는지도 확인해야 한다.
평균이 같아도 자료의 모양은 달라질 수 있다
자료 A를 60, 70, 80, 자료 B를 68, 70, 72라고 하자. 두 자료의 평균은 모두 70이다. 학생은 평균이 같다는 이유로 두 자료가 비슷하다고 표시했지만, 실제로는 각 값이 평균에서 떨어진 정도가 다르다.
자료 A의 편차는 -10, 0, 10이고 자료 B의 편차는 -2, 0, 2이다. 편차를 그대로 더하면 항상 0이 될 수 있으므로, 흩어진 정도를 비교할 때는 편차의 제곱을 사용한다. 자료 A의 분산은
(100+0+100)÷3=200
이고 표준편차는 √200이다. 자료 B의 분산은
(4+0+4)÷3=8
이므로 표준편차는 √8이다. √200이 √8보다 크므로 자료 A의 값들이 평균 70에서 더 멀리 퍼져 있다고 해석한다. 학생이 고쳐야 할 부분은 평균을 구하는 계산이 아니라, 평균만으로 분포를 판단한 설명이었다.
편차의 부호를 지우지 않고 먼저 표로 남기기
학생은 표준편차 문제에서 평균을 구한 뒤 각 자료에서 평균을 빼는 대신, 모든 값을 양수로 바꾸어 적는 습관도 보였다. 예를 들어 자료가 5, 7, 9이고 평균이 7이라면 편차는 각각 -2, 0, 2이다. 이를 2, 0, 2로 바꾸면 편차의 제곱을 구할 때는 결과가 같아 보일 수 있지만, 자료가 평균보다 큰지 작은지 판단하는 근거가 사라진다.
따라서 풀이 종이에 자료, 평균과의 차이, 편차의 제곱을 나누어 적도록 했다.
- 자료: 5, 7, 9
- 편차: -2, 0, 2
- 편차의 제곱: 4, 0, 4
그 다음 분산은 (4+0+4)÷3=8÷3이고, 표준편차는 √(8÷3)이다. 여기서 학생은 표준편차를 구한 뒤 다시 평균과 비교하려 했지만, 표준편차는 평균과 같은 방식으로 자료의 중심을 나타내는 값이 아니라 자료가 평균 주변에 얼마나 흩어져 있는지를 나타내는 값이다. 이 차이를 문장으로 적어 보게 하자 ‘평균은 자료의 중심, 표준편차는 평균에서 떨어진 정도’라고 설명했다.
식이 맞는지와 해석이 맞는지를 따로 확인하기
표준편차에서는 계산 결과만 맞아도 충분하지 않다. 자료의 개수가 4개인데 분산을 구하면서 편차의 제곱 합을 3으로 나누거나, 표준편차를 구해야 하는데 분산에서 멈추는 경우가 있기 때문이다. 학생에게는 계산 직후 세 가지 질문을 붙이게 했다.
- 편차를 각각 자료에서 평균을 뺀 값으로 작성했는가?
- 편차의 제곱 합을 자료의 개수로 나누었는가?
- 분산에 제곱근을 취해 표준편차를 구했는가?
이 확인은 단순히 답을 다시 보는 행동과 다르다. 실제 식의 각 단계에 표시를 하면서 조건을 대조하는 과정이다. 표준편차가 음수가 나왔다면 제곱근 이전의 분산 계산부터 다시 확인해야 하고, 두 자료의 평균이 같을 때 표준편차가 더 큰 자료가 더 넓게 퍼져 있다는 해석도 함께 붙여야 한다.
단원구의 생활 장면을 자료 해석으로 연결하기
단원구에는 관산중학교, 단원중학교, 대부중학교, 별망중학교, 석수중학교, 선부중학교 등이 대표 학교로 확인되지만, 이 학교들을 고잔동·선부동·와동·초지동·원곡동의 모든 학생이 동일한 통학권으로 이용한다고 볼 수는 없다. 고잔주공7단지나 선부주공9단지처럼 생활권별 이동 조건도 다를 수 있다. 같은 학교의 과제 제출 시간이나 통학 소요 시간을 조사해 평균이 같게 나온다고 해도, 값들이 일정하게 모였는지 일부 학생에게 크게 벌어졌는지는 표준편차를 따로 살펴봐야 한다.
또한 단원구에는 2025년 4월 1일 학교통계 기준 고등학교 12개가 있고 일반고는 9개로 집계된다. 중학교에서 고등학교로 이동하면서 통학 거리, 과제량, 시험 준비 시간이 달라질 수 있지만, 지역 전체의 학생 상황을 하나의 평균으로 단정해서는 안 된다. 예를 들어 두 생활권의 평균 이동 시간이 같더라도 한쪽은 대부분 비슷한 시간에 이동하고 다른 쪽은 가까운 학생과 먼 학생이 섞여 있을 수 있다. 이때 표준편차가 큰 쪽의 분포가 더 넓다고 설명해야 한다.
숫자와 조건이 바뀐 자료에서 다시 판단하기
다음 검증에서는 처음 자료의 숫자를 기억해서 답하지 못하도록 자료를 바꾸었다. 자료 C를 66, 70, 74, 자료 D를 60, 70, 80으로 제시하고 평균과 표준편차의 크기를 비교하게 했다. 학생은 먼저 두 자료의 평균이 모두 70임을 확인한 뒤, C의 편차를 -4, 0, 4, D의 편차를 -10, 0, 10으로 적었다. 편차 제곱의 평균은 C가 (16+0+16)÷3=32÷3, D가 (100+0+100)÷3=200÷3이다.
따라서 D의 분산과 표준편차가 더 크고, D의 자료가 평균에서 더 멀리 퍼져 있다. 이번에는 학생이 ‘평균은 같지만 표준편차가 다르므로 분포의 흩어진 정도는 다르다’고 근거까지 적었다. 숫자와 자료 이름이 바뀌었는데도 평균 확인, 편차 작성, 제곱, 나눗셈, 제곱근, 해석의 순서를 스스로 꺼냈다면 표준편차를 계산 공식으로만 외운 것이 아니라 자료의 성질을 확인하는 도구로 사용한 것이다.