초지동중3수학과외, 답보다 식의 근거를 다시 세우는 연습
학생이 다음과 같이 풀이를 적었다.
3(x-2)=15
3x-2=15
3x=17
x=17/3
처음 식에 답을 대입하면 맞지 않으므로 결과는 틀렸다. 그런데 학생은 “괄호를 풀었고, 양변에서 2를 옮겼다”고 설명했다. 실제로 막힌 지점은 계산 속도가 아니라 식의 모양이 바뀌는 순간마다 어떤 연산을 했는지 확인하지 않은 데 있었다.
괄호를 없애는 순간 계수까지 함께 확인하기
3(x-2)는 3을 x와 -2에 각각 곱해야 한다. 따라서
3(x-2)=3x-6
이 되고, 원래 방정식은 3x-6=15로 바뀐다. 양변에 6을 더하면 3x=21, 양변을 3으로 나누면 x=7이다. 학생에게 정답만 다시 쓰게 하지 않고, 각 줄 오른쪽에 ‘분배법칙’, ‘양변에 6 더하기’, ‘양변을 3으로 나누기’라고 짧게 적도록 했다. 식이 변한 이유를 말할 수 있어야 다음 숫자에서도 같은 절차를 꺼낼 수 있기 때문이다.
이때 중1·중2 과정의 분배법칙과 등식의 성질을 전 범위로 되돌아가 복습하지는 않는다. 현재 문제를 막은 부분인 3(x-2)의 전개와 양변에 같은 수를 더하는 과정만 골라 확인한 뒤 곧바로 중3 수준의 식으로 돌아온다.
맞는 답도 근거가 없으면 풀이가 끝나지 않는다
반대로 학생이 다음 문제의 답을 우연히 맞힌 경우도 있었다.
2x+5=17에서 x=6을 적었지만, 중간 과정은 남아 있지 않았다. 답 자체는 맞지만, 계수가 음수로 바뀌거나 괄호가 포함된 문제에서 같은 방법을 재현할 수 있는지는 확인되지 않는다. 그래서 “5를 넘겼다”는 표현 대신 “양변에서 5를 뺐다”고 말하고,
2x+5-5=17-5
2x=12
x=6
처럼 양변에 실제로 같은 연산을 표시하게 했다. ‘이항하면 부호가 바뀐다’는 암기만 남으면 식의 형태가 달라질 때 오류가 생기지만, 양변에 같은 수를 더하고 빼는 원리를 사용하면 부호 변화의 이유를 설명할 수 있다.
부호가 바뀐 식에서 첫 행동을 바꾸지 않기
다음에는 -4(x+3)=20을 제시했다. 학생은 -4를 괄호 안의 3에 곱하지 않고 -4x+3=20이라고 적으려 했다. 먼저 괄호 앞의 수를 각각 곱하는 표시를 하게 했다.
-4(x+3)=-4x-12
그러면 -4x-12=20, -4x=32, x=-8이 된다. 마지막에는 원래 식에 x=-8을 대입한다.
-4(-8+3)=-4(-5)=20
답을 얻은 뒤 대입 검산까지 해야 부호를 제대로 처리했는지 확인할 수 있다. 특히 음수 계수에서는 계산 결과만 보고 넘어가지 않고, 괄호 안의 값과 전체 곱의 부호를 따로 확인하도록 했다.
초지동의 일정 안에서 풀이 근거를 남기는 방법
초지동에서는 별망중학교와 초지중학교가 지역 내 중학교로 확인되며, 관산중학교·단원중학교·대부중학교는 같은 단원구의 참고 학교로 구분된다. 학교별 시험 범위와 수행평가 일정은 다를 수 있으므로 특정 학교의 출제 경향을 단정하기보다, 실제 범위가 확인된 식 단원에 맞춰 학습 시간을 배치하는 편이 안전하다. 초지두산위브아파트 등 생활권에서 평일 귀가 시간이 일정하지 않다면 긴 문제 묶음보다 ‘식 한 줄의 근거 쓰기-대입 검산’처럼 짧게 끝나는 단위를 정해 두는 방식이 적합하다.
수업에서는 학교 프린트의 한 문항을 푼 뒤 정답만 채점하지 않는다. 괄호를 어떻게 전개했는지, 양변에 어떤 연산을 했는지, 마지막에 원래 식을 확인했는지를 표시한다. 틀린 줄은 전부 다시 쓰게 하기보다 오류가 시작된 줄에 표시를 하고 그 줄부터 수정한다.
숫자와 표현이 달라진 새 문제에서 확인하기
다음 학습일에는 이전 식의 숫자를 바꾼 -3(2x-1)=21을 제시했다. 학생이 곧바로 근의 공식을 찾거나 답을 추측하지 않고, 먼저 괄호를 전개해 -6x+3=21을 만든다면 첫 행동을 독립적으로 꺼낸 것이다. 이어 양변에서 3을 빼서 -6x=18, 양변을 -6으로 나누어 x=-3을 얻는다.
대입하면 -3(2×(-3)-1)=-3(-7)=21이므로 확인된다. 같은 유형의 숫자만 외운 것이 아니라, 음수 계수와 괄호라는 조건이 바뀌어도 분배법칙, 등식의 성질, 대입 검산을 순서에 맞게 사용한 셈이다. 초지동중3수학과외에서는 문제 수를 늘리는 것보다 이처럼 식이 바뀐 이유를 남기고, 새로운 표현에서도 첫 행동을 스스로 선택하는지를 학습 기준으로 삼는다.