고잔동중3수학과외, 분포와 표준편차를 변형 문제에서 해석하는 법
“평균이 같으니 두 자료의 분포도 같다.” 고잔동의 한 중3 학생은 두 자료를 비교하는 문제에서 이렇게 결론을 적었다. 자료 A와 자료 B의 평균이 모두 6이라면 대표값은 같지만, 자료가 평균 주변에 모여 있는지 멀리 흩어져 있는지는 별도로 확인해야 한다. 이때 필요한 개념이 편차와 분산, 표준편차다.
평균이 같아도 자료의 모양은 달라진다
자료 A를 4, 5, 6, 7, 8, 자료 B를 2, 4, 6, 8, 10이라고 하자. 두 자료의 평균은 모두 6이다. 학생은 평균만 비교한 뒤 “두 자료는 같다”고 표시했지만, 실제 자료의 위치는 다르다. A는 평균 6을 중심으로 비교적 가까이 모여 있고, B는 평균에서 더 멀리 떨어진 값이 포함되어 있다.
이 차이를 감으로만 판단하지 않으려면 각 자료에서 평균을 뺀 편차를 확인한다. A의 편차는 -2, -1, 0, 1, 2이고 B의 편차는 -4, -2, 0, 2, 4이다. 편차의 합은 어느 자료에서나 0이 되므로, 편차 자체를 더해 흩어진 정도를 비교할 수는 없다. 학생이 이 단계에서 “합이 같으니 분포도 같다”고 적은 것이 첫 번째 오류였다.
편차의 합이 0이어도 흩어진 정도는 남는다
편차를 제곱하면 음수와 양수가 서로 지워지지 않는다. A의 편차 제곱은 4, 1, 0, 1, 4이므로 합은 10이고, B의 편차 제곱은 16, 4, 0, 4, 16이므로 합은 40이다. 자료의 개수가 각각 5개이므로 분산은 A가 2, B가 8이다. 표준편차는 분산의 양의 제곱근이므로 A는 √2, B는 √8, 즉 2√2이다.
따라서 평균은 같지만 B의 표준편차가 더 크다. 표준편차가 크다는 것은 모든 값이 반드시 큰 것은 아니다. 평균을 기준으로 자료가 더 넓게 퍼져 있다는 뜻이다. 학생이 수정할 행동은 계산 결과만 비교하는 것이 아니다. 먼저 평균을 구하고, 각 자료에서 평균을 뺀 뒤, 편차를 제곱하여 분산을 거쳐 표준편차까지 연결해 적는 것이다.
표준편차의 크기만 보고 자료를 단정하지 않기
표준편차가 √2와 2√2라면 √2<2√2이므로 B의 산포도가 더 크다고 판단할 수 있다. 하지만 “B의 모든 값이 A보다 크다”라고 말할 수는 없다. 실제로 두 자료에는 모두 평균보다 작은 값과 큰 값이 있다. 표준편차는 자료의 위치가 아니라 평균에서 떨어진 정도를 나타내기 때문이다.
학생에게는 답안 문장을 두 부분으로 나누게 했다. 먼저 “두 자료의 평균은 각각 6으로 같다”고 쓰고, 이어서 “분산 또는 표준편차를 비교하면 B가 평균에서 더 넓게 퍼져 있다”고 적는다. 대표값과 산포도를 한 문장으로 뭉뚱그리지 않으면 평균이 같다는 사실과 분포가 다르다는 사실을 동시에 정확하게 표현할 수 있다.
자료의 개수가 바뀌면 분산 계산도 다시 확인한다
같은 개념을 새 조건에서 확인하기 위해 자료 A를 5, 6, 7, 자료 B를 4, 6, 8로 바꾸었다. 두 자료의 평균은 모두 6이다. A의 편차 제곱은 1, 0, 1이므로 분산은 2/3이고, B의 편차 제곱은 4, 0, 4이므로 분산은 8/3이다. 그러므로 B의 표준편차가 더 크다.
이번에는 학생이 자료의 개수가 3개로 줄어든 것을 보고도 편차 제곱의 합을 그대로 분산이라고 쓰지 않았다. 편차 제곱의 합을 자료의 개수로 나누어야 한다는 절차를 다시 적용했다. 표준편차는 분산의 양의 제곱근이므로 A는 √(2/3), B는 √(8/3)으로 나타낼 수 있다.
숫자가 아니라 조건을 읽는 독립 검증
마지막 문제에서는 평균이 10인 자료에 새로운 값 10을 하나 추가했다. 학생은 “자료가 하나 늘었으니 표준편차가 커진다”고 바로 판단하지 않고, 추가된 값이 평균과 같은지 먼저 확인했다. 평균과 같은 값은 평균에서의 편차가 0이므로 기존의 흩어진 정도를 키우는 값이 아니다. 다만 자료 전체의 평균은 다른 값들의 구성에 따라 다시 계산해야 한다.
이처럼 새 문제에서 먼저 평균을 구하고, 평균과 각 자료의 차이를 표시하며, 편차 제곱의 합을 자료의 개수로 나누는지 확인해야 한다. 고잔동에는 단원중학교, 송호중학교, 양지중학교, 중앙중학교가 있고, 같은 단원구의 관산중학교는 참고 학교로 구분된다. 학교별 일정에 맞춰 공부할 때도 단순히 문제집 진도보다, 귀가 후 과제와 시험 준비 순서 속에서 자료를 변형해 제시했을 때 이 판단을 혼자 재현하는지를 점검하는 편이 유용하다.