하계동중3수학과외, 완전제곱식 인수분해 뒤 식과 조건까지 확인하기
학생은 학교 프린트의 \(x^2-10x+25\)를 보자마자 “\((x-5)^2\)”라고 적었다. 답 자체는 맞았지만, 왜 가운데항이 \(-10x\)가 되는지 묻자 \(5^2=25\)만 확인하고 풀이를 끝냈다. 완전제곱식 인수분해에서는 모양을 기억해 정답을 쓰는 것과, 주어진 식이 실제로 그 모양에 맞는지 검증하는 것이 서로 다르다.
제곱항과 상수항만 보고 두 수를 정하지 않기
학생이 처음 사용한 기준은 양 끝 항이었다. \(x^2\)와 \(25\)를 보고 \(5\)를 떠올린 것은 출발점으로는 가능하지만, 완전제곱식은 가운데항까지 맞아야 한다. 다음 세 항을 함께 비교해야 한다.
\[ x^2+2ax+a^2=(x+a)^2 \]
따라서 \(x^2-10x+25\)에서는 \(a^2=25\)이므로 \(a=5\) 또는 \(-5\)로 생각할 수 있고, 실제 가운데항이 \(2ax=-10x\)가 되도록 \(a=-5\)를 선택한다. 그러면
\[ x^2-10x+25=x^2+2(-5)x+(-5)^2=(x-5)^2 \]
이다. 학생에게는 “끝항의 제곱근을 찾는다”에서 멈추지 않고, 찾은 수를 두 배하여 가운데항의 계수와 비교하는 행동을 요구했다. 부호도 함께 비교해야 하므로 \(x^2+10x+25\)는 \((x+5)^2\), \(x^2-10x+25\)는 \((x-5)^2\)가 된다.
맞힌 답을 다시 전개해 가운데항을 확인하다
이 학생의 오답은 인수분해 결과가 틀린 것이 아니라 검산이 생략된 데 있었다. 그래서 같은 식을 지우고 다시 쓰게 하지 않고, 결과를 전개하여 원래 식으로 돌아오는지 확인하게 했다.
\[ (x-5)^2=(x-5)(x-5) \]
에서 첫 항끼리의 곱은 \(x^2\), 양쪽의 교차항은 \(-5x-5x=-10x\), 마지막 항은 \(25\)이다. 세 부분을 모두 적어야 원래 식과 일치한다. 특히 \((x-5)^2\)를 \(x^2-25\)로 읽는 실수는 제곱을 각 항에 따로 적용한 경우이므로, 괄호 전체의 곱으로 바꾸어 확인하도록 했다.
반대로 \(x^2-12x+36\)을 \((x-6)^2\)로 바르게 인수분해했더라도 “\(6^2=36\)이니까 맞다”라고 끝내지 않는다. \(2\cdot(-6)=-12\)까지 확인해야 한다. 이 과정을 답 옆에 짧게 표시하면 계산량은 많지 않지만 성질을 사용했다는 근거가 남는다.
완전제곱식이 아닌 식을 억지로 묶지 않는 판단
다음 문제에서 학생은 \(x^2-8x+12\)도 \((x-4)^2\)라고 썼다. 양 끝의 \(x^2\)와 \(12\)만 보면 \(4\)를 떠올릴 수 있지만, \((x-4)^2\)를 전개하면 \(x^2-8x+16\)이므로 상수항이 달라진다. 이 식은 완전제곱식으로 그대로 인수분해되는 형태가 아니다.
여기서 중요한 수정 행동은 억지로 괄호를 만드는 것이 아니라, 후보를 전개하여 세 항을 대조하는 것이다. \(x^2-8x+12\)에서 가운데항에 맞추어 \(a=-4\)를 정하면 필요한 마지막 항은 \(a^2=16\)이어야 한다. 실제 상수항은 \(12\)이므로 완전제곱식 조건을 만족하지 않는다. 문제에서 “완전제곱식으로 나타내라”는 요구가 없다면, 이 식을 \((x-4)^2\)라고 단정해서는 안 된다.
하계동 학교 일정에 맞춰 검산을 풀이의 일부로 배치하기
하계동에서 중학교 수학 학습을 계획할 때는 불암중학교, 중평중학교, 하계중학교의 실제 시험 범위와 수행평가 일정을 먼저 확인하고, 평일 귀가 시간 뒤에 긴 문제 수를 무리하게 배정하기보다 완전제곱식 문항의 풀이와 검산을 한 묶음으로 두는 편이 적절하다. 하계5단지아파트, 하계극동아파트, 하계장미아파트 등 생활권에서 이동하는 학생이라면 귀가 후 처음 20분에는 학교 프린트의 식을 분류하고, 이어서 맞힌 문항 중 두 개를 전개해 확인하는 식으로 시간을 나눌 수 있다.
학교별 범위와 일정은 확인된 안내에 따라 달라질 수 있으며, 공릉중학교와 광운중학교는 같은 노원구의 참고 학교이지 하계동 소재 학교로 보아서는 안 된다. 따라서 다른 학교의 진도를 임의로 적용하기보다 학생이 다니는 학교의 시험 범위 안에서 \(x^2+2ax+a^2\) 형태를 식별하고 검산하는 능력을 확인해야 한다.
숫자와 부호가 바뀐 문제에서 첫 행동을 다시 꺼내기
며칠 뒤에는 답을 외워 쓰기 어렵도록 \(4y^2+20y+25\)를 제시했다. 학생은 먼저 \(4y^2=(2y)^2\), \(25=5^2\)로 양 끝 항을 제곱 형태로 바꾸었다. 이어 가운데항이 \(2\cdot(2y)\cdot5=20y\)인지 확인하고
\[ 4y^2+20y+25=(2y+5)^2 \]
라고 적었다. 이번에는 결과를 전개해 \(4y^2+10y+10y+25\)로 되돌린 뒤 가운데항을 합쳤다.
마지막으로 \(9t^2-24t+16\)을 풀 때는 \(3t\)와 \(4\)의 부호를 먼저 결정하지 않고, 가운데항을 확인하여 \(2\cdot3t\cdot(-4)=-24t\)임을 근거로 \((3t-4)^2\)를 선택했다. 숫자와 문자의 형태가 달라져도 ‘양 끝을 제곱 형태로 확인하기 → 가운데항의 두 배 곱 확인하기 → 전개로 되돌리기’가 도움 없이 이어진다면, 정답을 기억한 것이 아니라 완전제곱식의 조건을 적용한 것으로 볼 수 있다.