중계동중3수학과외, 완전제곱식 인수분해에서 조건부터 판별하는 연습
학생은 학교 프린트의 식 x²+10x+25를 보고 곧바로 “앞의 두 항을 먼저 묶어야 한다”고 말한 뒤, x(x+10)+25에서 더 이상 진행하지 못했다. 다른 문항에서는 4x²-12x+9를 (2x-3)(2x+3)으로 적었다. 곱셈 결과는 4x²-9이므로 가운데항 -12x가 사라진다. 계산이 느려서가 아니라, 완전제곱식인지 확인해야 할 위치를 놓친 장면이다.
첫 항과 끝항만 보고 괄호를 정하지 않기
완전제곱식은 세 항을 따로 외워 맞히는 식이 아니다. a²+2ab+b²는 (a+b)²이고, a²-2ab+b²는 (a-b)²이다. 따라서 양끝 항이 각각 제곱인지 확인한 다음, 가운데항이 그 두 제곱근의 곱을 두 배 한 값인지 대조해야 한다.
x²+10x+25에서는 양끝 항의 제곱근이 x와 5이다. 이 둘을 두 배 하면 2·x·5=10x이므로 가운데항과 일치한다. 따라서 정확한 인수분해는 (x+5)²이다. 학생에게는 ‘양끝 제곱 찾기 → 부호 확인 → 가운데항을 두 배 곱과 비교하기’라는 세 행동을 식 위에 직접 표시하게 했다.
완전제곱식인지 판단할 때는 양끝 항만으로 결정하지 않고, 가운데항까지 반드시 검산한다.
부호는 가운데항과 괄호 안에서 함께 확인한다
4x²-12x+9의 제곱근은 각각 2x와 3이다. 두 배 곱은 2·2x·3=12x이고, 가운데항이 음수이므로 괄호 안의 부호는 마이너스가 된다. 그러므로 4x²-12x+9=(2x-3)²이다.
학생은 처음에 양끝 항만 보고 (2x-3)(2x+3)을 선택했다. 이 식은 합차공식의 형태라서 가운데항이 없어지는 구조다. 수정할 때는 괄호를 정하기 전에 가운데항의 존재 여부를 묻도록 했다. 제곱식으로 묶었을 때는 (2x-3)²를 다시 전개하여 4x²-12x+9가 나오는지 확인한다. 반대로 (2x-3)(2x+3)\를 전개하면 4x²-9가 되어 원래 식과 다르다는 것도 비교했다.
계수가 1이 아닐 때는 공통인자를 먼저 살핀다
모든 식을 바로 완전제곱식으로 판단하면 안 된다. 예를 들어 3x²+12x+12는 세 항 전체에 3이 공통으로 있으므로 먼저 3(x²+4x+4)로 정리한다. 괄호 안에서 양끝 항의 제곱근은 x와 2이고, 가운데항은 2·x·2=4x이므로 3(x+2)²가 된다.
학생은 이 식을 (3x+? )²로 만들려 했다. 앞의 계수 3을 제곱근처럼 괄호 안에 넣으려는 행동이었다. 이후에는 식을 보자마자 괄호를 쓰지 않고, 먼저 세 항의 공통인자를 찾아 옆에 적게 했다. 공통인자를 제거한 뒤에야 완전제곱식 판별을 시작하도록 풀이 순서를 바꾼 것이다.
제곱근이 문자식일 때도 가운데항을 계산한다
9y²-30y+25에서는 양끝 항의 제곱근이 3y와 5이다. 두 배 곱은 2·3y·5=30y이므로 가운데항의 부호에 맞춰 (3y-5)²가 된다. 여기서 9y²의 제곱근을 9y라고 읽으면 가운데항 계산이 90y로 바뀌어 오류가 발생한다. ‘항의 제곱근’을 찾는 것과 ‘계수만 확인하는 것’을 구별해야 하는 이유다.
중계동에서 중계시영1단지, 중계주공2단지, 중계주공6단지처럼 생활권이 나뉘어 있고, 중계동 내 중학교로 상계제일중학교·상명중학교·을지중학교·재현중학교·중계중학교·중원중학교가 확인된다. 학교와 거주지에 따라 이동 시간이 달라질 수 있는 만큼, 짧은 시간에 풀이 구조를 재현하는 연습이 필요하다. 고등학교 진학 뒤에는 통학과 과제, 시험 준비가 함께 늘어날 수 있으므로 한 문제를 오래 붙잡기보다 오류가 난 판단 지점을 표시하는 방식이 효율적이다. 중계동 내 고등학교와 같은 노원구 내 참고 학교는 구분해서 살펴봐야 하며, 참고 학교를 중계동 소재 학교로 단정할 수는 없다.
숫자를 바꾼 문제에서 첫 행동을 다시 확인하다
다음 수업에서는 2x²-16x+32를 제시했다. 학생은 처음부터 괄호를 쓰지 않고 공통인자 2를 확인하여 2(x²-8x+16)으로 바꿨다. 이어 양끝의 제곱근을 x, 4로 찾고, 두 배 곱이 8x임을 계산한 뒤 2(x-4)²라고 답했다. 전개하면 2(x²-8x+16)=2x²-16x+32이므로 결과도 맞다.
마지막으로 5x²+20x+20을 주자 학생은 공통인자 5를 먼저 꺼내 5(x²+4x+4)=5(x+2)²로 정리했다. 숫자와 계수는 달라졌지만, 공통인자 확인과 가운데항 대조라는 첫 행동을 도움 없이 다시 사용했다. 완전제곱식 인수분해의 진도는 많은 유형을 푼 양보다, 형태가 바뀌었을 때 이 판단 절차를 스스로 꺼내는지로 확인할 수 있다.