월계동중3수학과외, 공통인수 묶기를 숫자와 부호가 바뀌어도 적용하는 연습
학생이 학교 프린트의 식 6x²-9x를 보고 먼저 적은 답은 3x(2x-3)이었다. 이 식은 정확하다. 그런데 다음 문항인 -8a²+12a에서는 갑자기 4a(-2a+3) 대신 4a(2a-3)라고 썼다. 바깥으로 꺼낸 4a는 맞았지만, 원래 첫 항이 음수라는 조건을 괄호 안에 옮기는 과정에서 부호가 바뀌었다.
이 장면에서 필요한 것은 공통인수를 더 많이 외우는 일이 아니다. 학생이 두 항을 보고 공통으로 들어 있는 수와 문자를 찾은 뒤, 그 인수로 나누었을 때 괄호 안의 항이 원래 식을 그대로 복원하는지 확인하는 과정이다. 월계동의 광운중학교, 녹천중학교, 신창중학교, 염광중학교, 월계중학교처럼 학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 다를 수 있으므로, 평일 귀가 시간에 맞춰 짧은 문항을 풀더라도 이 판단 순서를 고정하는 것이 중요하다.
공통인수는 ‘보이는 숫자’가 아니라 두 항을 모두 나누는 값이다
12x³+18x²에서는 숫자 12와 18의 공약수 중 가장 큰 6을 찾고, 두 항에 공통인 x²도 함께 꺼낼 수 있다.
12x³+18x²=6x²(2x+3)
학생이 자주 하는 실수는 숫자만 6으로 묶어 6(2x³+3x²)라고 끝내는 것이다. 이것도 틀린 식은 아니지만, 두 항에 공통으로 남아 있는 x²까지 묶을 수 있는데 멈춘 상태다. 학교 시험에서 인수분해를 요구한다면 더 이상 공통인수가 남지 않았는지 확인해야 한다. 따라서 식을 본 뒤 ‘숫자에서 가장 큰 공약수는 무엇인가’, ‘모든 항에 공통인 문자는 무엇인가’를 차례로 표시하게 한다.
음의 공통인수를 꺼낼 때 괄호 안의 부호를 함께 옮긴다
-15y²+10y에서는 5y를 꺼내면 5y(-3y+2)가 된다. 하지만 첫 항의 음수까지 바깥으로 꺼내 -5y를 선택하면 괄호 안은 달라진다.
-15y²+10y=-5y(3y-2)
두 표현 모두 원래 식과 같지만, 학생이 -5y(-3y+2)라고 쓰면 전개 결과가 15y²-10y가 되어 부호가 반대로 변한다. 이때 ‘앞에 마이너스가 있으니 괄호 안에도 마이너스를 쓴다’처럼 감으로 처리하지 않도록 한다. 실제 수정 행동은 바깥의 인수를 각 항에 다시 곱하는 것이다.
- -5y×3y=-15y²
- -5y×(-2)=10y
두 결과가 원래 항과 일치하면 부호 처리가 끝난다. 학생에게는 인수분해 직후 전체 식을 다시 전개하는 검산을 요구하되, 단순히 답을 베껴 적는 것이 아니라 첫 번째 항과 두 번째 항을 각각 확인하게 한다.
문자와 계수의 공통 부분을 지수까지 비교하기
8m³n-12m²n²에서는 숫자 공약수가 4이고, 두 항에 공통인 문자는 m²n이다.
8m³n-12m²n²=4m²n(2m-3n)
학생이 4mn(2m²-3mn)처럼 일부만 묶는다면 계산 자체는 성립할 수 있지만, m을 하나 더 공통으로 꺼낼 수 있다. 반대로 두 번째 항에 없는 문자를 꺼내 4m²n²를 바깥에 쓰면 인수분해가 성립하지 않는다. 그래서 풀이 전에 각 문자의 지수를 작은 것부터 비교한다. m³과 m² 중 공통으로 남길 수 있는 것은 m²이고, n과 n²에서는 n이다.
공통인수로 묶은 뒤, 바깥 인수와 괄호 안의 각 항을 곱해 원래 식이 되는지 확인한다.
월계동 학교 일정 안에서 풀이 행동을 짧게 고정하기
시험 범위가 공통인수 묶기까지인 주에는 평일 귀가가 늦은 날에 긴 문제 세트를 배치하기보다, 식 세 개를 보고 공통인수에 동그라미를 치는 활동부터 진행할 수 있다. 예를 들어 월계주공1단지나 월계주공2단지 생활권에서 귀가한 뒤에는 14x²-21x, -18p³+24p², 9ab²-15a²b처럼 구조가 다른 식을 한 줄씩 처리하고, 다음 학습 시간에 각 결과를 전개해 확인한다. 학교별 수행평가 일정이 겹치는 주에는 새 유형을 늘리기보다 부호와 문자 지수를 확인하는 짧은 점검을 우선한다.
월계동 내 학교 정보와 노원구 전체 참고 학교 정보는 구분해서 보아야 한다. 여기서 확인된 지역 내 중학교는 광운중학교, 녹천중학교, 신창중학교, 염광중학교, 월계중학교이며, 같은 노원구의 다른 학교 자료를 월계동 소재 학교의 시험 경향으로 단정할 수는 없다. 따라서 실제 계획은 학생이 다니는 학교의 범위와 일정, 귀가 시간에 맞춰 조정하고, 학교가 달라도 공통인수 판단과 전개 검산이라는 수학 행동은 동일하게 유지한다.
같은 식을 다시 맞힌 뒤, 모양이 달라진 문제로 확인한다
처음 오답을 수정한 뒤 바로 -8a²+12a를 다시 풀게 하면 기억한 답을 재현했을 가능성이 있다. 독립 검증에서는 계수와 문자의 위치를 바꾼 -21r²s+14rs²를 제시한다. 학생은 숫자 공약수 7, 문자 공통 부분 rs를 찾아 음의 공통인수를 선택할 수 있다.
-21r²s+14rs²=-7rs(3r-2s)
검산은 -7rs×3r=-21r²s, -7rs×(-2s)=14rs²로 나누어 확인한다. 숫자가 달라지고 문자가 두 개로 늘어나도 학생이 먼저 공통 부분을 표시하고, 부호를 괄호째 옮긴 다음, 전개로 원식을 확인했다면 원래 예시의 정답을 기억한 것이 아니라 원리를 다시 사용한 것이다.
자주 묻는 질문
공통인수는 항상 가장 큰 수를 꺼내야 하나요?
가장 큰 공약수와 모든 항에 공통인 문자를 함께 꺼내는 것이 일반적입니다. 그래야 괄호 안에 공통인수가 남지 않습니다.
음수는 꼭 밖으로 꺼내야 하나요?
반드시 그런 것은 아니지만, 첫 항을 양수로 만들기 위해 음의 공통인수를 꺼내는 경우가 많습니다. 어떤 선택을 하든 전개 결과가 원래 식과 같은지 확인해야 합니다.