상계동중1수학과외, 상대도수를 인원수로 착각하지 않는 문자 서술형 연습
“상대도수 0.25이므로 학생 수는 0.25명이다.”
상대도수 단원에서 자주 나오는 오답이다. 계산 자체는 맞게 했더라도 상대도수가 무엇을 나타내는지 설명하지 못하면 서술형의 결론이 틀어진다. 상대도수는 실제 인원수가 아니라 전체에서 해당 자료가 차지하는 비율이다. 중1 문자와 식을 함께 사용하는 문제에서는 기호가 나타내는 수량을 먼저 정하고, 상대도수와 실제 도수를 구분해 써야 한다.
숫자를 바로 답으로 쓰기 전에 기호의 의미 정하기
예를 들어 어느 반 학생 20명의 통학 시간을 조사했을 때, 30분 이상 40분 미만인 학생이 8명이라고 하자. 이때 도수는 8명이고, 상대도수는 다음과 같다.
상대도수 = 해당 계급의 도수 ÷ 전체 도수 = 8 ÷ 20 = 0.4
따라서 상대도수는 0.4 또는 40%이다. 여기서 8은 실제 학생 수이고 0.4는 전체 학생 중 해당 구간에 속하는 비율이다. 상대도수를 실제 인원수처럼 읽으면 “0.4명”이라는 잘못된 결론이 나온다.
문자를 사용한다면 전체 학생 수를 n명, 특정 구간의 학생 수를 a명으로 둘 수 있다. 그러면 해당 구간의 상대도수는 a÷n이다. 반대로 전체 학생 수가 n명이고 상대도수가 r이라면 해당 구간의 인원수는 nr명이다. 문자가 들어간 식에서는 계산보다 먼저 각 문자가 어떤 양을 나타내는지 밝혀야 한다.
서술형 답안을 식·과정·결론으로 나누기
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 학교 프린트에서 “전체 25명 중 자전거로 등교한 학생의 상대도수가 0.2일 때 자전거 등교 학생 수를 구하고 설명하시오.”라는 문제가 나왔다. 학생은 0.2를 그대로 답란에 쓰거나, “0.2명”이라고 적었다.
이때 답안을 세 부분으로 나누어 작성한다.
- 식: 자전거 등교 학생 수 = 전체 학생 수 × 상대도수 = 25 × 0.2
- 과정: 25 × 0.2 = 5
- 결론: 자전거로 등교한 학생은 5명이다.
식에는 수량 관계가 드러나야 한다. 상대도수는 전체 중 일부의 비율이므로 실제 인원수를 구할 때 전체 인원에 곱한다. 결론에는 반드시 단위를 붙인다. “상대도수는 0.2이고, 실제 학생 수는 5명이다.”처럼 두 값을 구분해 쓰면 의미 혼동을 줄일 수 있다.
문자의 의미를 설명하지 못하는 오답 고치기
다음과 같은 문항을 생각해 보자.
“전체 학생 수를 n명, 안경을 쓴 학생 수를 a명이라 할 때 안경을 쓴 학생의 상대도수를 문자로 나타내고, n=30, a=6일 때 그 값을 구하시오.”
학생이 a+n 또는 n-a를 쓰는 경우에는 문자 계산만 고치지 않고 수량 관계를 다시 읽는다. 전체 학생 n명 중 안경을 쓴 학생 a명이 차지하는 비율이므로 식은 a/n이다. n=30, a=6을 대입하면 6/30=1/5=0.2이다. 이 값은 안경을 쓴 학생 수가 아니라 전체의 20%를 뜻한다.
오답 수정 때는 문제 옆에 작은 체크칸 세 개를 만든다.
- 전체 자료의 수는 무엇인가?
- 비교하려는 부분의 도수는 무엇인가?
- 구한 값의 단위와 의미는 무엇인가?
분수나 소수 계산이 틀렸다면 계산 과정을 따로 확인하되, 계산이 맞아도 마지막 결론의 단위를 확인한다. 예를 들어 6/30=0.2를 구한 뒤 “6명”이라고 쓰면 계산 오류가 아니라 의미 해석 오류로 분류한다.
학교 프린트와 일정에 맞춘 짧은 훈련
상계동에는 노원중학교, 노일중학교, 상경중학교, 상계중학교, 상원중학교, 수락중학교가 있다. 학교마다 프린트 범위와 수행평가 일정이 다를 수 있으므로 특정 학교의 출제 경향을 단정하기보다, 실제 받은 자료의 상대도수 문항을 기준으로 연습하는 편이 안전하다. 평일 귀가 시간이 늦은 날에는 새로운 문제를 많이 풀기보다 오답 한 문항의 식·과정·결론을 다시 쓰고, 수행평가 전에는 표의 도수와 상대도수를 문장으로 설명하는 훈련을 배치한다.
첫날에는 학교 프린트에서 상대도수와 도수가 함께 제시된 문제 하나를 골라 표에 ‘실제 인원수’와 ‘전체에 대한 비율’을 각각 표시한다. 다음에는 문자를 넣어 전체를 n, 일부를 a로 바꾼 뒤 상대도수를 a/n으로 표현한다. 마지막으로 숫자를 대입해 계산하고, 답에 명과 % 중 어떤 표현이 필요한지 확인한다.
같은 문제를 반복하지 않는 독립 검증
훈련이 끝났는지는 원문을 다시 맞히는 것으로 판단하지 않는다. 전체 학생 수를 25명에서 40명으로 바꾸고, 상대도수를 0.2에서 0.15로 바꿔 실제 인원수를 구하게 한다. 40×0.15=6이므로 답은 6명이다. 이번에는 반대로 실제 인원수를 9명, 전체를 30명으로 제시하고 상대도수를 구하게 한다. 9÷30=0.3, 즉 30%이다.
조건을 바꾼 뒤에도 학생이 먼저 전체와 부분을 표시하고, 문자로 수량 관계를 나타낸 다음, 식·과정·결론을 순서대로 작성하는지 확인한다. 표의 단위를 ‘명’에서 ‘가구’로 바꾸거나 상대도수를 백분율로 요구하는 경우에도 같은 방식으로 답해야 한다. 다음 날에는 계산기를 사용하지 않고 다시 풀고, 일주일 뒤에는 불필요한 숫자가 포함된 표에서 필요한 도수만 골라 식을 세우게 한다.
상대도수 문제의 복습 목록은 모든 문제를 계속 쌓아 두기보다, 새로운 전체 수와 비율에서도 독립적으로 해결한 문항을 제외한다. 반면 상대도수를 인원수로 읽거나 문자의 의미를 생략한 답안은 남겨 두고, 왜 a/n이 비율이고 nr이 실제 인원수인지 한 문장으로 다시 설명하게 한다.
자주 묻는 질문
상대도수에 ‘명’을 붙여도 되나요?
상대도수는 비율이므로 보통 명을 붙이지 않는다. 실제 인원수를 구한 값에는 명을 붙이고, 상대도수는 0.2 또는 20%처럼 쓴다.
문자로 나타낸 상대도수는 항상 a/n인가요?
전체 도수를 n, 특정 부분의 도수를 a라고 정했을 때 a/n이다. 문자의 정의가 달라지면 식도 달라지므로 먼저 각 문자의 의미를 밝혀야 한다.