공릉동중3수학과외, 공통인수 묶기에서 조건을 먼저 판별하는 연습
학생이 식 \(3x^2-6x+2x-4\)를 보고 “앞의 두 항과 뒤의 두 항을 묶으면 된다”며 곧바로 \(3x(x-2)+2(x-2)\)를 썼다. 여기까지는 맞는 풀이였다. 그러나 다음 줄에서 공통인수 \(x-2\)를 빠뜨리고 \(3x+2\)만 답으로 적었다. 공통인수 묶기는 단순히 항을 둘씩 나누는 계산이 아니라, 묶은 뒤 다시 하나의 공통 괄호가 만들어지는지 확인하는 과정이다.
두 항씩 묶기 전에 확인해야 할 조건
공통인수로 묶을 때는 먼저 각 항에 들어 있는 수와 문자를 살핀다. 위 식에서는 앞의 두 항에서 \(3x\)를 꺼내면 \(3x(x-2)\)가 되고, 뒤의 두 항에서 \(2\)를 꺼내면 \(2(x-2)\)가 된다. 두 결과에 동일한 \(x-2\)가 나타나므로 다시 묶을 수 있다.
\[ 3x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(3x+2) \]
학생은 첫 번째 괄호 안의 \((x-2)\)를 두 번 확인했지만, 마지막에 공통으로 남은 괄호를 답에 포함해야 한다는 점을 놓쳤다. 따라서 풀이를 마친 뒤에는 “처음 식으로 되돌아가는가?”를 반드시 점검해야 한다.
묶은 결과에서 공통으로 반복되는 괄호를 찾고, 그 괄호를 한 번만 앞에 쓴다.
부호를 바꾸어야 공통 괄호가 생기는 식
모든 식이 \(ax+ay+bx+by\)처럼 바로 묶이는 것은 아니다. 예를 들어
\[ x^2-3x-2x+6 \]
에서 앞의 두 항은 \(x(x-3)\), 뒤의 두 항은 \(-2(x-3)\)로 정리된다. 여기서 두 번째 묶음의 공통인수는 \(2\)가 아니라 \(-2\)여야 한다.
\[ x(x-3)-2(x-3)=(x-3)(x-2) \]
학생이 \(-2x+6\)에서 \(2\)만 꺼내면 \(2(-x+3)\)가 되어 첫 번째 괄호 \((x-3)\)와 모양이 달라진다. 이때는 숫자만 꺼낼 것이 아니라, 괄호 안의 식을 앞 묶음과 같게 만들 수 있는지 살펴야 한다. \(-2\)를 꺼내면 \(-2(x-3)=-2x+6\)이므로 공통 괄호가 정확히 맞는다.
공통인수의 크기보다 괄호의 일치 여부를 먼저 보기
공릉동에서 중3 수학을 공부하는 학생이 학교 과제와 시험 준비를 함께 진행할 때에는 문제 수를 늘리기보다, 한 식에서 어디서 판단이 바뀌는지를 표시하는 편이 효과적이다. 공릉중학교, 태랑중학교, 한천중학교 재학생이라도 실제 학습 속도는 귀가 시각과 과제량에 따라 달라질 수 있다. 같은 노원구의 광운중학교와 노원중학교 자료를 참고할 수는 있지만, 이 학교들을 공릉동 소재 학교로 보아 시험 경향을 단정해서는 안 된다.
학생에게는 각 묶음 아래에 ‘꺼낸 인수’와 ‘남은 괄호’를 따로 적게 한다. 예를 들어 \(4x^2+8x+3x+6\)에서는 다음처럼 표시한다.
\[ 4x(x+2)+3(x+2) \]
- 첫 묶음의 공통인수: \(4x\)
- 둘째 묶음의 공통인수: \(3\)
- 두 묶음에 공통으로 남은 식: \(x+2\)
그러면 최종 결과는
\[ (x+2)(4x+3) \]
가 된다. \(4x+3\)만 적는 오답은 공통 괄호를 다시 묶는 마지막 행동이 빠진 경우다. 반대로 \(x+2\)만 적는다면 앞에서 꺼낸 계수 부분을 빠뜨린 것이므로, 어느 부분이 사라졌는지 역전개로 확인해야 한다.
순서를 바꾸어도 같은 공통 괄호를 만들 수 있는가
공통인수 묶기에서는 항의 순서를 기계적으로 앞의 두 개, 뒤의 두 개로만 정하는 것도 위험하다. 예를 들어
\[ 2x^2+6x+xy+3y \]
는 앞의 두 항을 묶으면 \(2x(x+3)+y(x+3)\)가 되어 바로 인수분해된다.
\[ 2x(x+3)+y(x+3)=(x+3)(2x+y) \]
하지만 항의 배열이 \(2x^2+xy+6x+3y\)라면 처음 두 항과 뒤의 두 항을 묶는 방식이 더 자연스럽다.
\[ x(2x+y)+3(2x+y)=(2x+y)(x+3) \]
두 결과는 곱셈의 순서만 다르고 같은 식이다. 학생이 “괄호 모양이 다르면 틀렸다”고 판단하지 않도록, 마지막에 전개하여 원래 식과 비교하게 한다. 인수의 순서는 달라도 각 인수의 곱이 같으면 같은 인수분해 결과가 될 수 있다.
현재 오답을 고치는 짧은 풀이 규칙
학생이 식을 보자마자 괄호를 쓰는 대신 다음 네 칸을 채우게 한다.
- 항을 어떤 두 묶음으로 나눌 것인가?
- 각 묶음에서 무엇을 꺼낼 것인가?
- 남은 괄호가 서로 같은가?
- 최종식을 다시 전개하면 원래 식이 되는가?
예를 들어 \(5a^2-10a+3a-6\)에서는
\[ 5a(a-2)+3(a-2)=(a-2)(5a+3) \]
로 정리한다. 이후 \(a(a-2)\)를 전개하면 \(a^2-2a\)가 되고, 전체를 전개했을 때 \(5a^2-10a+3a-6=5a^2-7a-6\)이 되는지 확인한다. 답을 외우는 대신 꺼낸 인수와 남은 괄호를 기록하면, 부호를 바꾸어야 하는 문제에서도 같은 판단을 적용할 수 있다.
숫자와 부호가 달라진 문제에서 독립적으로 확인하기
다음 학습에서는 \(6m^2+9m-4m-6\)을 제시하고, 앞 문제의 답을 보지 않은 상태에서 첫 행동부터 관찰한다. 학생이 \(3m(2m+3)-2(2m+3)\)라고 묶었다면 공통 괄호가 만들어지는 조건을 다시 꺼낸 것이다.
\[ 3m(2m+3)-2(2m+3)=(2m+3)(3m-2) \]
이번에는 숫자 \(5,3\)이 \(6,9,-4,-6\)으로 바뀌었고, 두 번째 묶음에서 음수가 필요하다. 그런데도 학생이 먼저 공통 괄호를 찾고, 마지막에 전개 검산까지 한다면 단순히 이전 답을 기억한 것이 아니라 공통인수 묶기의 기준을 새 조건에 적용한 것으로 볼 수 있다.
공릉동중3수학과외에서 점검할 기준도 풀이량보다 여기에 둔다. 학생이 항을 나누는 이유를 말하고, 부호를 포함한 공통인수를 선택하며, 반복되는 괄호를 빠뜨리지 않고, 전개로 결과를 확인하는지 살피는 것이다.