남양주중3수학과외, 반원의 원주각을 90°로 설명하고 검산하는 풀이
학생이 반원 안에 삼각형이 그려진 문제를 보고 답안에 “반원이므로 90°”라고 적었다. 답 자체는 맞을 수 있지만, 이 한 줄만으로는 어떤 각이 원주각인지, 왜 직각인지 드러나지 않는다. 반원의 원주각 문제에서는 숫자를 빨리 쓰는 것보다 지름의 양 끝점과 원주 위의 꼭짓점을 정확히 연결하는 과정이 먼저다.
직각으로 판단하기 전에 세 점의 역할을 구분한다
반원의 지름을 AB, 반원 위의 점을 C라고 하자. 삼각형 ABC에서 A와 B가 지름의 양 끝점이고 C가 원주 위에 있다면, ∠ACB는 지름 AB를 바라보는 원주각이다. 이때 원주각의 크기는 그 원주각이 바라보는 호에 대응하는 중심각의 절반이다. 지름이 만드는 중심각은 180°이므로
∠ACB = 180° ÷ 2 = 90°
가 된다. 따라서 “반원이니까 아무 각이나 90°”가 아니라 “지름의 양 끝점을 양변으로 하고, 원주 위의 점을 꼭짓점으로 하는 원주각이므로 90°”라고 말해야 한다.
학생이 놓친 것은 계산이 아니라 각의 위치였다
한 학생은 그림에서 AB가 지름이라는 표시를 확인한 뒤에도 ∠ABC를 90°로 적었다. 그러나 ∠ABC의 꼭짓점은 B이고, 이 각은 지름의 양 끝점 중 하나에서 만들어진 각이다. 반원의 정리를 직접 적용할 수 있는 각은 C를 꼭짓점으로 하는 ∠ACB다.
이때 풀이를 다음처럼 고쳐 쓴다.
AB는 원의 지름이고 C는 원주 위의 점이다. ∠ACB는 지름 AB를 바라보는 원주각이므로 ∠ACB=90°이다.
그 뒤 그림에서 실제로 두 변 CA, CB가 C에서 만나는지 확인한다. 각의 이름을 먼저 쓰면, 그림이 기울어져 있거나 점의 순서가 바뀌어도 직각의 위치를 놓치지 않는다.
주어진 각으로 나머지 각을 구할 때도 직각 근거를 남긴다
예를 들어 반원의 지름이 AB이고 점 C가 반원 위에 있으며, ∠CAB=34°라고 하자. 먼저 ∠ACB=90°를 확인한 뒤 삼각형의 내각의 합을 사용한다.
∠ABC = 180° - 90° - 34° = 56°
학생이 “나머지는 56°”라고만 쓰면 계산 결과는 보이지만 90°가 어디서 나왔는지는 확인하기 어렵다. 따라서 답안에는 지름, 원주각, 직각이라는 세 가지 근거를 연결해 적는다. 반원의 경계가 곧 지름이라고 생각해 버리는 경우도 있으므로, 직선으로 연결된 두 끝점이 실제로 원의 지름인지 표시를 다시 살핀다.
같은 그림을 다시 푸는 대신 조건을 바꿔 확인한다
남양주시에는 가운중학교, 광동중학교, 광릉중학교, 금곡중학교, 남양주다산중학교, 다산새봄중학교 등이 대표 학교로 확인되지만, 이 학교들을 금곡동·다산동·도농동·별내동·오남읍·와부읍의 모든 학생이 같은 생활권에서 다닌다고 볼 수는 없다. 별내상업지구나 평내상업지구처럼 생활 동선이 달라질 수 있고, 주거지와 학교 사이 거리도 다르므로 수업에서는 학생이 실제로 확보할 수 있는 시간에 맞춰 한 문항의 풀이와 검산을 분리해 진행한다.
검산 단계에서는 이전 그림의 숫자만 바꾸지 않고 위치를 바꾼다. 이번에는 지름의 양 끝점을 P, Q, 반원 위의 점을 R로 두고, ∠PQR=41°를 제시한다. 학생에게 먼저 어느 각이 지름을 바라보는 원주각인지 표시하게 한다. 직각은 ∠PRQ에 생기므로
∠RPQ = 180° - 90° - 41° = 49°
이다. 점의 이름과 그림의 방향이 바뀌었는데도 학생이 R을 꼭짓점으로 잡고, 지름 PQ를 확인한 뒤, 삼각형의 내각 합으로 49°를 얻었다면 정답을 기억한 것이 아니라 정리의 조건을 다시 적용한 것이다.
정답 뒤에 붙이는 짧은 역검산
풀이가 끝나면 계산 결과가 반원의 조건과 맞는지 확인한다. ∠PRQ=90°와 ∠PQR=41°를 더하면 131°이고, 180°-131°=49°이므로 나머지 각이 양수가 된다. 세 각의 합도 49°+41°+90°=180°이다. 만약 학생이 직각을 다른 꼭짓점에 배치했다면 이 검산 과정에서 어떤 각을 원주각으로 선택했는지 다시 드러난다.
반원의 원주각 문제에서 확인할 기준은 단순히 90°를 쓰는가가 아니다. 지름의 양 끝점을 찾고, 그 두 점을 연결한 선분을 바라보는 원주 위의 꼭짓점을 지정하며, 그 근거를 문장으로 남긴 뒤 새 배치에서 다시 검산하는가가 기준이 된다.