평내동중3수학과외, 접점 확인부터 근거와 검산까지
접점이라고 표시된 점을 바로 대입하지 않는 이유
학생이 원과 직선이 만나는 그림을 보고 “여기가 접점이니까 반지름과 직선이 수직이에요”라고 쓴 뒤, 실제로는 접점이 아닌 교점에 보조선을 그은 경우가 있다. 또는 접점 표시는 찾았지만 접선과 반지름이 직각이라는 근거를 답안에 적지 않아 풀이가 중간에서 끊긴다.
중3 원의 접선 문제에서는 계산보다 먼저 그림의 조건을 읽어야 한다. 한 점에서 원에 닿는 직선인지, 중심에서 그 점으로 연결한 선분이 무엇인지, 구하는 각이나 길이가 어느 부분에 놓였는지를 확인해야 이후의 직각 성질과 닮음, 피타고라스 정리를 정확히 사용할 수 있다.
학생의 첫 풀이에서 빠진 한 줄
예를 들어 중심이 O인 원에 직선 l이 점 P에서 접하고, OP가 그려진 문제에서 학생이 다음처럼 적었다고 하자.
“l은 접선이므로 ∠OPQ=90°이다. 따라서 삼각형 OPQ에서 피타고라스 정리를 사용한다.”
이 문장에는 두 가지 확인이 필요하다. 먼저 직선 l이 실제로 P에서 원에 접한다는 조건이 문제에 제시되어야 한다. 다음으로 직각인 각은 반지름 OP와 접선 l이 만나는 P에서 생긴다. Q가 직선 l 위에 있다면 ∠OPQ가 90°이지만, Q의 위치와 각의 표기를 확인하지 않고 무조건 직각이라고 쓰면 근거가 불분명해진다.
학생은 종종 접점 P를 찾은 뒤 원의 중심 O와 다른 교점 R을 연결하고, ∠ORQ를 직각으로 표시한다. 그러나 접선이 P에서 원에 닿는다면 직각 성질은 P에서만 성립한다. R이 원 위의 다른 점이라는 이유만으로 접선과 연결된 선분이 수직이 되는 것은 아니다.
접점을 찾은 뒤 바로 해야 할 표시
- 원의 중심을 먼저 찾아 O로 표시한다.
- 직선이 원과 만나는 점 중 접한다고 주어진 점을 P로 표시한다.
- O와 P를 선분으로 연결한다.
- 반지름 OP와 접선이 만나는 P에 직각 표시를 한다.
- 그 직각이 어떤 삼각형의 각인지 각의 이름으로 다시 확인한다.
이 과정을 거치면 “접선이니까 직각”이라는 암기 문장이 아니라 “접점 P에서 반지름 OP와 접선이 수직”이라는 조건 기반의 풀이가 된다. 그림이 회전되어 있거나 접선이 수평·수직으로 그려지지 않아도 같은 판단을 할 수 있다.
접선의 길이를 구할 때 근거와 계산을 분리하기
중심 O, 접점 P, 외부의 점 A가 있고 AP가 접선이라고 하자. OP=6, OA=10일 때 AP를 구하는 문제에서 학생이 “10-6=4”라고 답하면 길이를 뺀 이유가 없다. OA는 직각삼각형의 빗변이고 OP와 AP가 두 직각변이므로, 먼저 도형의 성질을 식으로 옮겨야 한다.
접점 P에서 OP⊥AP이므로 삼각형 OPA는 직각삼각형이다.
따라서
OA²=OP²+AP²
10²=6²+AP²
AP²=100-36=64
AP=8
길이는 음수가 될 수 없으므로 AP=-8은 선택하지 않는다. 여기서 학생이 해야 할 수정 행동은 ‘피타고라스 정리를 다시 외우기’가 아니다. 접점에 직각 표시를 한 뒤, 가장 긴 변인 OA를 빗변으로 표시하고, 구하는 선분 AP를 마지막에 고립시키는 것이다.
검산도 같은 식 안에서 가능하다. 6²+8²=36+64=100=10²이므로 세 변의 관계가 맞는다. 단순히 10-6=4로 계산한 답은 6²+4²=52로 10²과 맞지 않아 즉시 걸러진다.
두 접선이 그려진 그림에서 같은 길이를 놓치지 않기
외부 점 A에서 원에 그은 두 접선이 각각 P, Q에서 만나면 AP와 AQ의 길이는 같다. 학생이 한쪽 접선의 길이만 계산하고 다른 쪽을 별도로 구하려 할 때는 먼저 두 선분이 같은 외부 점 A에서 출발하는지 확인해야 한다. “접선의 길이는 모두 같다”가 아니라 “같은 외부 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같다”가 정확한 조건이다.
예를 들어 AP=x+3, AQ=2x-1이라면 같은 외부 점 A에서 그은 접선이라는 조건을 사용해
x+3=2x-1
x=4
를 얻는다. 따라서 AP=7, AQ=7이다. 학생이 x=4만 적고 선분의 길이를 쓰지 않으면 구하는 대상이 끝나지 않은 것이며, 반대로 그림에 외부 점이 두 개로 나뉘어 있는데도 AP=AQ라고 놓으면 조건을 잘못 확장한 것이다.
새 문제에서 접선의 길이를 문자식으로 제시할 때는 계산 전에 접점 P와 Q를 각각 표시하고, 두 접선이 동일한 외부 점에서 출발하는지 확인하도록 한다. 이 첫 행동이 생략되면 숫자가 간단해도 잘못된 등식을 세울 가능성이 커진다.
평내동에서 풀이 근거를 말로 남기는 연습
평내동에서 중학교 수학을 공부할 때는 평내중학교와 장내중학교가 지역 내 중학교로 확인되며, 가운중학교·광동중학교·광릉중학교는 같은 남양주시의 참고 학교로 구분된다. 평내상업지구와 평내문화촌마을, 상록아파트가 포함된 생활권에서는 통학과 과제 일정이 겹치며 한 문제를 오래 붙잡기 어려운 날도 생길 수 있다. 그래서 접점 문제를 풀 때 풀이 줄마다 근거를 짧게 남기는 방식이 효율적이다.
예를 들면 다음 네 줄이면 충분하다.
- “P는 접점이다.”
- “반지름 OP와 접선 AP는 수직이다.”
- “삼각형 OPA는 P에서 직각이다.”
- “따라서 OA²=OP²+AP²이다.”
이 기록은 답만 맞았는지보다 어떤 조건을 사용했는지를 보여 준다. 중학교에서 고등학교로 넘어가면 이동 시간과 과제, 시험 범위가 함께 늘어날 수 있으므로 한 문제를 처음부터 다시 그리는 것보다 접점·직각·빗변을 짧게 표시해 풀이의 핵심을 남기는 습관이 유용하다.
새 조건에서 혼자 확인하는 문제
이번에는 중심 O인 원에 외부 점 B에서 그은 접선이 접점 T에서 만나고, OB=13, OT=5라고 하자. 이전 문제의 숫자와 접점 이름이 바뀌었지만 먼저 해야 할 행동은 같다. T를 접점으로 확인하고 OT와 BT가 수직임을 적는다. 그러면
OB²=OT²+BT²
13²=5²+BT²
BT²=169-25=144
BT=12
가 된다. 5-12-13 관계를 확인해도 식이 맞는다. 학생이 도움 없이 T에 직각 표시를 하고, OB를 빗변으로 선택한 뒤, 마지막에 양의 길이를 고르면 접점의 위치가 바뀌어도 성질을 적용한 것이다.
자주 묻는 질문
접점이 표시되지 않은 그림에서는 어떻게 하나요?
문장에 ‘접한다’고 제시된 점을 먼저 찾고, 원의 중심과 그 점을 연결한다. 단순히 원과 직선이 만나는 점이라는 이유만으로 접점이라고 정하지 않는다.
접선의 길이를 구할 때 항상 피타고라스 정리를 쓰나요?
반지름과 접선이 만드는 직각삼각형이 구성되고 세 변 중 두 길이를 알 때 사용할 수 있다. 먼저 접점에서의 수직 조건이 성립하는지 확인해야 한다.