진접읍중3수학과외, 접선과 반지름의 직각을 변형 문제에서 확인하는 법
원에 그어진 선분 하나를 보고 학생이 “접선 같으니 반지름과 직각”이라고 적었지만, 접점 표시가 없는 순간 풀이를 멈추는 경우가 있다. 반대로 원의 중심과 직선이 만나는 점을 접점으로 잘못 생각해, 실제로는 원을 가로지르는 직선을 접선으로 처리하기도 한다. 중3 원의 성질에서는 그림의 모양보다 접선이라는 조건과 접점의 위치를 먼저 확인해야 한다.
접점에서 반지름을 연결해야 직각이 만들어진다
원의 중심을 O, 접점을 P라고 하자. 직선 l이 점 P에서 원에 접한다면 반지름 OP와 접선 l은 서로 수직이다. 따라서
∠OPQ = 90°
처럼 P가 접점이고 Q가 접선 위의 점일 때 각을 정할 수 있다. 여기서 중요한 것은 ‘반지름은 모두 같다’는 사실과 ‘접선과 반지름은 직각’이라는 사실을 섞지 않는 것이다. OP와 OQ가 모두 반지름이라는 이유만으로 ∠OPQ가 직각이 되는 것은 아니다. Q가 원 위의 점인지, 접선 위의 점인지부터 구분해야 한다.
수업에서는 학생에게 그림을 바로 풀게 하지 않고 먼저 중심 O와 접점 P를 표시하게 한다. 그다음 OP를 실제로 연결하고, P에서 뻗은 선이 원과 한 점에서만 만나는지 확인한다. 이 세 행동이 끝난 뒤에야 직각 표시를 넣도록 하면, 그림의 기울기나 회전 방향에 따라 판단이 흔들리는 일이 줄어든다.
맞는 식처럼 보이는 오답에서 빠진 조건 찾기
한 학생은 원의 중심 O에서 직선 l까지의 거리가 6cm라는 조건을 보고 반지름도 6cm라고 썼다. 그러나 중심에서 직선까지의 최단거리가 반지름과 같으려면 그 직선이 원에 접해야 한다. 직선이 원과 두 점에서 만난다면 중심에서 직선에 내린 수선의 길이는 반지름보다 작다. 따라서 ‘거리 6cm’만 보고 반지름을 결정할 수 없고, 접선이라는 조건이 함께 주어졌는지를 살펴야 한다.
오답을 고칠 때는 답을 지우고 다시 계산하는 데 그치지 않는다. 학생은 문제의 ‘접한다’에 밑줄을 긋고, 접점을 P로 표시한 뒤 OP를 그린다. 이후 “P에서 원과 한 점에서 만나는 직선이므로 OP⊥l”이라고 한 문장으로 근거를 말한다. 직각을 표시한 다음에는 주어진 각이나 길이를 그 직각 안에 배치한다. 이 과정을 거치면 직각삼각형에서 필요한 변을 찾을 때도 어느 각이 기준인지 임의로 바꾸지 않게 된다.
그림을 돌려도 같은 성질을 꺼내는 연습
예를 들어 중심 O인 원에 접선 AB가 점 A에서 접하고, OA=5cm, OB=13cm라고 하자. 접선과 반지름의 직각에 의해 ∠OAB=90°이다. 따라서 삼각형 OAB에서
AB²=OB²-OA²=13²-5²=169-25=144
이므로 AB=12cm이다. 이때 5, 12, 13이라는 수를 외우는 것이 목표가 아니다. 학생은 먼저 A가 접점인지 확인하고 OA와 AB를 직각변으로 놓은 뒤, 구하는 AB가 직각삼각형의 한 변이라는 것을 설명해야 한다.
같은 그림을 뒤집어 접선이 세로로 놓이거나, 중심이 원의 아래쪽에 표시되도록 바꾸면 학생의 첫 반응을 관찰할 수 있다. 그림이 회전했는데도 A를 접점으로 표시하고 OA를 연결한다면 성질을 이해한 것이다. 반면 선분의 기울기가 달라졌다는 이유로 직각 표시를 지우거나, OB를 접선으로 읽는다면 접점과 중심을 구분하는 행동부터 다시 시킨다.
진접읍의 이동 동선에 맞춘 짧은 풀이 기록
진접읍에서는 광동중학교, 광릉중학교, 주곡중학교, 진접중학교, 풍양중학교 등 학교와 진접삼부르네상스더퍼스트아파트, 내동마을 같은 생활권에서 방과 후 이동 시간이 달라질 수 있다. 학교 수업 뒤 이동하고 나면 긴 문제 세트를 계획하기보다, 자습시간에 한 문항의 조건 표시와 근거 문장을 남기는 방식이 현실적이다. 특정 학교의 시험 경향을 단정하기보다, 학생이 실제로 확보한 시간 안에 풀이의 첫 단계를 반복해서 점검하는 편이 적절하다.
예를 들어 이동 후 20분 동안 접선 문제 한 문항을 다음 순서로 기록한다.
- 원의 중심과 접점을 각각 표시한다.
- 접점과 중심을 선분으로 연결한다.
- 접선과 연결한 반지름이 수직임을 문장으로 쓴다.
- 직각삼각형에서 주어진 변과 구하는 변을 구분한다.
- 계산 뒤 구한 길이를 원래 식에 대입해 확인한다.
이 기록은 단순히 문제를 많이 푸는 방식과 다르다. 학생이 어느 지점에서 멈췄는지 남기므로, 다음 수업에서 계산이 아니라 조건 해석을 바로 수정할 수 있다.
접선의 위치와 구하는 대상을 바꾼 독립 검증
새 문제에서는 원의 중심을 O, 접점을 C, 접선 위의 점을 D로 바꾸고 OC=8cm, OD=17cm를 제시한다. 이번에는 그림을 이전 예시와 반대 방향으로 배치하고, 구하는 대상을 CD로 바꾼다. 도움 없이 C를 접점으로 표시하고 OC⊥CD를 적은 뒤
CD²=OD²-OC²=17²-8²=289-64=225
에서 CD=15cm를 얻어야 한다. 숫자만 바뀐 것이 아니라 접점의 이름, 도형의 방향, 구하는 선분이 달라졌는데도 같은 근거를 꺼내는지가 확인 기준이다.
또 다른 변형에서는 중심 O에서 직선 m에 내린 수선의 발을 C라고 하고 OC=9cm라고만 제시한다. 이때 직선 m이 원에 접한다는 조건이 없다면 반지름이 9cm라고 단정하지 않는다. 학생이 “접선이라는 정보가 있어야 OC가 반지름과 연결된다”고 말한다면, 접선과 반지름의 직각을 공식처럼 외운 것이 아니라 조건 속에서 사용하고 있는 상태로 볼 수 있다.