별내동중3수학과외, 여러 원주각의 관계를 그림이 바뀌어도 적용하는 연습
학생이 원 안에 그려진 두 원주각을 보고 “둘 다 같은 호를 보니까 40°예요”라고 적었다. 그런데 한 각은 40°이고 다른 각은 20°인 문제였다. 답을 외워서 고른 것이 아니라, 실제로 두 각이 바라보는 호가 같은지 확인해야 하는 장면이었다. 원주각 문제에서 숫자만 맞히는 풀이와 조건을 읽고 근거를 세우는 풀이는 여기서 갈린다.
같은 꼭짓점이 아니라 같은 호를 찾아야 하는 이유
원주각은 원 위의 한 점을 꼭짓점으로 하고, 두 변이 원과 만나는 각이다. 같은 호를 바라보는 원주각은 크기가 같고, 하나의 원주각이 바라보는 호에 대응하는 중심각은 그 원주각의 두 배다. 따라서 그림에서 각의 위치가 비슷해 보인다는 이유만으로 같은 크기를 적을 수는 없다.
예를 들어 원 위의 점 A, B, C, D가 있고 ∠ACB가 35°라면, 같은 호 AB를 바라보는 ∠ADB도 35°이다. 반면 ∠ACD가 호 AD를 바라본다면 ∠ACB와 비교할 근거가 없다. 학생이 먼저 해야 할 일은 각의 양변 끝점을 확인하고, 두 끝점 사이의 호를 표시하는 것이다.
각의 크기를 바로 쓰지 말고, “이 각이 바라보는 호는 어디인가?”를 먼저 말한다.
맞힌 풀이에도 빠져 있던 한 줄
학교 프린트에서 ∠ACB=48°, ∠ADB를 구하는 문제가 나왔을 때 학생은 48°라고 답했다. 결과는 맞았지만 풀이에는 “모양이 같아서”라고 적혀 있었다. 두 각이 같은 이유는 모양이 아니라 두 각이 모두 호 AB를 바라보기 때문이다. 답안에는 “∠ACB와 ∠ADB는 같은 호 AB에 대한 원주각이므로 ∠ADB=48°”라고 써야 한다.
반대로 ∠ACB=48°이고 중심각 ∠AOB를 묻는다면 답은 96°이다. 학생은 원주각끼리 비교할 때와 원주각·중심각을 비교할 때 사용하는 관계를 구분해야 한다. “같은 호이면 무조건 같은 각”이 아니라, 같은 호에 대한 원주각끼리는 같고 중심각은 원주각의 두 배라는 조건을 식으로 옮기는 것이다.
부호와 숫자가 바뀐 문제에서 드러난 막힘
다음 문제에서 학생은 ∠AXB=62°라고 적힌 그림을 보고, 같은 호 AB를 바라보는 ∠AYB를 124°로 계산했다. 이전 문제에서 중심각을 구했던 절차를 그대로 가져온 것이다. 이때 풀이를 전부 다시 외우게 하지 않고, 두 각의 꼭짓점 X와 Y가 모두 원 위에 있는지 먼저 표시하게 했다. 둘 다 원주각이면 두 배를 하지 않는다. 중심이 O이고 ∠AOB를 묻는 경우에만 62×2를 적용한다.
또 다른 그림에서는 ∠ACB가 원의 안쪽에서 작은 호 AB가 아닌 큰 호 AB를 바라보도록 배치되어 있었다. 학생은 각의 위치가 바뀌자 같은 호 판단을 멈췄다. 두 변이 원과 만나는 끝점 A, B를 먼저 연결하고, 꼭짓점 C가 놓인 쪽과 반대편 호가 각이 바라보는 호임을 확인하도록 했다. 그림을 회전하거나 점의 이름을 바꿔도 끝점 두 개를 찾는 행동은 달라지지 않는다.
별내동의 이동 일정에 맞춘 짧은 풀이 기록
별내동에서는 한별중학교와 화접중학교가 지역 내 중학교로 확인되며, 별내상업지구와 별내리슈빌아파트, 별내스위첸아파트 등이 생활권 자료에서 확인된다. 중학교에서 고등학교로 넘어가면 통학과 과제, 시험 준비 시간이 함께 늘어날 수 있으므로 긴 풀이를 매번 반복하기보다 이동 전후에 한 문항씩 조건을 말로 정리하는 방식이 효율적이다. 가운중학교·광동중학교·광릉중학교는 같은 남양주시 내 참고 학교이므로 별내동 소재 학교와 구분해 보아야 한다.
수업에서는 문제를 푼 뒤 다음 세 줄만 남긴다.
- 구하는 각의 꼭짓점이 원 위인지 중심인지 확인한다.
- 두 변의 끝점을 찾아 바라보는 호를 표시한다.
- 같은 호의 원주각인지, 원주각과 중심각의 관계인지 근거를 적는다.
그림을 바꾼 독립 검증
마지막에는 앞서 본 점 이름과 숫자를 바꿔 제시했다. 원 위의 P, Q, R, S에 대해 ∠PRQ=27°이고 ∠PSQ를 구하게 하되, S를 R의 반대편 위치에 배치했다. 학생은 먼저 두 각의 양변 끝점이 P와 Q임을 확인하고 “둘 다 호 PQ에 대한 원주각”이라고 설명한 뒤 27°를 적었다. 이어 중심 O에 대한 ∠POQ를 묻자 54°라고 바꾸어 계산했다.
이번에는 답을 기억해서 맞힌 것이 아니다. 숫자 35가 27로 바뀌고, 점의 위치와 표현이 달라졌는데도 같은 호를 찾은 뒤 관계를 선택했다. 원주각 학습에서 확인할 기준은 문제집의 정답 수가 아니라, 새로운 그림에서 첫 표시와 근거를 스스로 꺼내는지에 있다.