별내동중1수학과외, 문자를 숫자로만 읽지 않고 그래프의 의미를 해석하는 연습
“x가 2일 때 y는 5이고, x가 3일 때 y는 7이므로 그래프는 오른쪽으로 갈수록 올라간다.”
이 문장은 계산 결과만 보면 맞을 수 있지만, 중1 수학에서 필요한 설명으로는 부족하다. x와 y가 무엇을 나타내는지, x가 증가할 때 y가 어떤 관계로 변하는지, 그래프의 점과 선이 실제 상황에서 무엇을 뜻하는지까지 연결해야 하기 때문이다. 별내동중1수학과외에서는 그래프의 모양을 외우는 데서 멈추지 않고 학교 프린트와 교과서 자료를 혼자 읽어 내는 과정을 중심으로 확인할 수 있다.
숫자를 대입했지만 그래프를 읽지 못하는 장면
예를 들어 다음과 같은 표가 있다고 하자.
시간 x(시간): 0, 1, 2, 3
이동 거리 y(km): 0, 4, 8, 12
학생은 표의 숫자를 보고 y=4x라고 쓸 수 있다. 그러나 “x가 1 증가할 때 y는 어떻게 변하는가?”라는 질문에는 “y가 4다”라고 답하거나, “그래프에서 4라는 점을 찾는다”고 말하는 경우가 있다. 여기서 x는 특정 숫자 하나가 아니라 시간이라는 양이고, y는 그 시간 동안 이동한 거리라는 양이다.
또 그래프의 세로축에 이동 거리, 가로축에 시간이 표시되어 있는데도 두 축의 숫자를 바꾸어 읽어 (거리, 시간) 순서로 좌표를 쓰기도 한다. (2, 8)을 (8, 2)로 바꾸면 계산 과정에서 나온 숫자는 모두 사용했지만, 그래프 위에서는 전혀 다른 위치가 된다.
문자에 의미를 붙이는 첫 단계
문제를 풀기 전에 식부터 세우지 않고 다음 세 칸을 먼저 작성한다.
- x는 무엇을 나타내는가?
- y는 무엇을 나타내는가?
- x가 변할 때 y는 어떤 단위와 양으로 변하는가?
위의 이동 상황이라면 x는 시간, 단위는 시간이며 y는 이동 거리, 단위는 km이다. 따라서 x=2일 때 y=8이라는 말은 “2시간 동안 이동한 거리가 8km”라는 뜻이다. 단순히 2와 8을 식에 넣는 것이 아니라 두 양 사이의 관계를 문장으로 바꾸어 보는 것이다.
문자를 숫자처럼만 보는 학생은 y=4x에서 x에 5를 넣어 y=20을 구한 뒤 풀이를 끝낸다. 수정할 때는 반드시 “5시간 후 이동 거리는 20km이다”처럼 단위를 포함한 문장을 덧붙인다. 그래프 문제에서는 이 문장이 좌표와 상황을 연결하는 검산 역할을 한다.
증가와 감소를 모양이 아닌 변화로 말하기
그래프가 오른쪽 위로 향한다고 해서 무조건 “증가 그래프”라고만 쓰면 자료 해석 문제가 조금만 바뀌었을 때 막힐 수 있다. 표의 연속된 값을 비교해 변화량을 확인해야 한다.
x가 1, 2, 3, 4로 증가하고 y가 10, 8, 6, 4로 줄어든다면, x가 1 증가할 때 y는 2씩 감소한다. 이때 그래프는 오른쪽으로 갈수록 내려간다. 학생이 “그래프가 낮아지니까 x도 감소한다”고 답했다면 가로축의 변화와 세로축의 변화를 섞어 읽은 것이다.
수정 행동은 간단한 화살표 표시다. x축의 값에는 오른쪽 방향 화살표를 그리고, y값에는 증가 또는 감소를 따로 적는다. 그다음 “x가 증가할 때 y는 증가한다” 또는 “x가 증가할 때 y는 감소한다”를 완전한 문장으로 쓴다. 그래프의 모양을 기억하는 대신 두 변수의 변화를 분리해 읽는 방식이다.
학교자료를 혼자 해결하는 절차
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 학교 프린트에 다음 문제가 나왔다고 하자.
“어느 물통에 일정한 속도로 물을 넣고 있다. x분 후 물의 양을 yL라고 할 때, 그래프를 보고 5분 후 물의 양과 물이 12L가 되는 때를 구하여라.”
학생은 그래프에서 5라는 숫자를 찾은 뒤 세로축의 5를 읽어 답을 틀릴 수 있다. 먼저 x축이 시간, y축이 물의 양인지 확인해야 한다. 5분 후의 물의 양은 x=5에서 위로 올라가 그래프와 만나는 점의 y값이다. 반대로 물의 양이 12L가 되는 때는 y=12에서 옆으로 이동해 그래프와 만나는 점의 x값이다.
이때 풀이 종이에 두 방향을 구분해 표시한다.
- “몇 분 후인가?”라는 질문은 y값에서 x값을 찾는다.
- “몇 L인가?”라는 질문은 x값에서 y값을 찾는다.
- 찾은 값에는 시간 또는 L 단위를 붙인다.
답지를 본 경우에는 답만 베끼지 않는다. 답지를 가리고 문제의 축 이름과 질문의 단위를 다시 표시한 뒤, 첫 단계부터 재작성한다. 학교자료 한 장을 끝까지 독립적으로 처리했는지 확인하는 것이 문제집을 여러 권 푼 것보다 현재 전환 상태를 더 잘 보여 준다.
맞힌 문제를 안정된 문제로 바꾸는 검증
같은 문제를 바로 다시 풀어 맞히는 것은 충분한 검증이 아니다. 숫자와 표현을 바꾸어도 문자와 그래프의 역할을 구분하는지 확인해야 한다.
첫 번째로 x=5 대신 x=7을 묻는다. 두 번째로 “물의 양이 15L가 되는 시각”처럼 질문의 방향을 바꾼다. 세 번째로 세로축 단위를 L가 아니라 100mL로 제시한다. 이 경우 눈금의 숫자를 그대로 읽지 않고 단위까지 확인해야 한다. 네 번째로 그래프가 직선이 아니라 일정 시간 동안 수평으로 멈춘 구간을 포함하도록 바꾼다. 수평 구간에서는 시간이 지나도 물의 양이 변하지 않는다는 의미를 말할 수 있어야 한다.
검증할 때는 다음 세 가지를 기록한다.
- 축의 이름과 단위를 스스로 확인했는가?
- 질문이 요구한 값을 x에서 찾는지 y에서 찾는지 판단했는가?
- 계산값을 실제 상황의 문장으로 설명했는가?
처음에는 답지를 찾기 전에 한 번 더 시도하도록 시간을 정한다. 같은 숫자를 반복하는 대신 다음 날 학교 프린트의 다른 그래프를 골라 이 세 항목을 적용한다. 그래프의 모양이 달라지고 단위가 바뀌어도 독립적으로 시작할 수 있다면 문자와 그래프를 숫자 묶음이 아닌 관계 자료로 읽는 학습이 이루어진 것이다.
별내동 학습자료와 현재 학습 점검
별내동에는 한별중학교와 화접중학교가 있으며, 같은 남양주시의 가운중학교·광동중학교·광릉중학교는 참고 학교로 구분해야 한다. 학교별 시험 경향을 단정하기보다 학생이 실제로 받은 학교 프린트와 오답 장면을 기준으로 그래프 해석 과정을 점검하는 편이 안전하다. 별내상업지구나 별내리슈빌아파트, 별내스위첸아파트 등 생활권에서 볼 수 있는 이동 시간, 이용 인원, 물건 수량 자료를 그래프 상황으로 바꾸어 말해 보는 것도 문자와 변수의 의미를 연결하는 데 활용할 수 있다.
중2 선행을 시작하기 전에는 그래프 공식을 더 외우는 것보다 중1 자료를 보고 축, 단위, 변수의 관계를 설명하는지 먼저 확인해야 한다. 새로운 숫자와 조건에서도 학교자료를 답지 없이 시작하고, 마지막에 상황에 맞는 문장까지 완성한다면 다음 단계로 넘어갈 준비를 판단할 수 있다.