금곡동중3수학과외, 반원의 원주각을 변형 문제에서 다시 세우는 연습
학생이 반원 모양의 그림을 보고 “반원이니까 원주각은 모두 90도”라고 적은 답안이 있었다. 답 자체는 특정 상황에서 맞을 수 있지만, 어떤 각을 말하는지와 왜 90도인지 설명하지 못하면 그림의 점 위치가 바뀌었을 때 바로 멈추게 된다. 반원의 원주각 문제에서 먼저 확인할 것은 반원의 곡선이 아니라 지름과 각의 꼭짓점이다.
90도가 되는 각은 지름을 바라보는 원주각이다
반원의 양 끝을 A, B라 하고 선분 AB가 지름이라고 하자. 반원 위에 점 C가 있을 때 ∠ACB는 지름 AB를 양 끝점으로 하는 원주각이다. 이때 원주각은 90°가 된다.
학생이 자주 쓰는 잘못된 설명은 “반원은 180°이므로 그 절반인 90°”이다. 이렇게 생각하면 C가 반원 위가 아닌 지름 위에 있거나, 각의 꼭짓점이 A 또는 B로 바뀐 문제에서도 같은 답을 쓰게 된다. 정확한 근거는 지름이 만드는 중심각이 180°이고, 같은 호를 보는 원주각은 중심각의 절반이라는 점이다. 따라서 ∠ACB=180°÷2=90°이다.
반원의 원주각을 찾을 때는 먼저 ‘지름의 양 끝점이 이 각의 두 변에 놓였는가’를 확인한다.
그림의 위치보다 세 점의 역할을 먼저 읽기
수업 중 학생은 C가 위쪽에 있는 그림에서는 ∠ACB를 곧바로 90°라고 썼지만, C가 아래쪽으로 이동한 문제에서는 각 ACB의 크기가 달라진다고 판단했다. 점의 위치가 달라져도 A와 B가 지름의 양 끝이고 C가 같은 반원 위에 있다면, 지름 AB를 보는 원주각은 계속 90°이다. 반원의 크기나 C와 A 사이의 거리도 이 결론을 바꾸지 않는다.
수정할 때는 그림을 외우게 하지 않고 세 점을 표시하게 한다. 먼저 직선으로 연결된 지름에 밑줄을 긋고, 각의 꼭짓점에 동그라미를 친다. 그다음 각의 두 변이 지름의 양 끝점으로 향하는지 말로 확인한다. 예를 들어 “AB는 지름이고 C는 원주 위의 점이며, ∠ACB는 AB를 본다”라고 설명한 뒤 90°를 적는다.
같은 반원 안에서도 각의 이름이 바뀌면 판단을 멈춰야 한다
다음과 같은 그림에서 AB가 지름이고 C, D가 반원 위에 있다면 ∠ACB와 ∠ADB는 모두 90°이다. 두 각의 꼭짓점은 다르지만, 두 각 모두 지름 AB를 바라보기 때문이다.
반대로 ∠CAD는 A가 꼭짓점이고 두 변이 AC와 AD로 이루어져 있다. 이 각은 A와 D 또는 A와 C의 위치, 그리고 두 현이 만드는 모양을 추가로 살펴야 하므로 “반원에 있으니 90°”라고 할 수 없다. 학생이 각의 세 글자를 읽지 않고 그림 전체를 보고 답할 때 생기는 오류다. 가운데 글자가 꼭짓점이라는 약속을 문제마다 다시 적용해야 한다.
맞힌 뒤에도 근거와 역검산을 붙인다
학생에게 ∠ACB의 크기를 묻자 90°를 맞혔지만, 풀이에는 숫자만 남아 있었다. 이 경우 다음 문장을 답안에 붙이도록 했다.
“AB는 지름이고 C는 원주 위의 점이므로, 지름 AB를 보는 원주각 ∠ACB는 90°이다.”
각의 합을 이용하는 문제라면 이 결과를 계산에 연결한다. 예를 들어 ∠ACB=90°, ∠CAB=34°라면 삼각형 ABC에서 ∠CBA=180°-90°-34°=56°이다. 여기서 학생은 180°에서 90°를 먼저 빼고 남은 90°에 34°를 더하는 실수를 했으므로, 삼각형의 세 각을 모두 더해 180°가 되는지 확인하게 했다. 34°+56°+90°=180°이므로 계산이 맞다.
금곡동에서는 금곡중학교가 지역 내 중학교로 확인되며, 가운중학교·광동중학교·광릉중학교·남양주다산중학교는 같은 남양주시의 참고 학교로 구분된다. 학교별 내신 일정과 학생의 주간 학습 시간이 다를 수 있으므로, 반원의 원주각도 학교 이름이나 진도표보다 실제 프린트에서 어떤 표시를 놓쳤는지에 맞춰 점검하는 편이 적절하다. 금곡산업단지와 금곡리삼금아파트가 포함된 생활권 안에서도 학생의 이동 시간과 수업일은 서로 다르게 계획될 수 있다.
새 그림에서 기억이 아니라 조건으로 확인하기
독립 확인에서는 이전 문제의 숫자와 배치를 바꿨다. 지름 PQ를 가진 반원 위에 R을 왼쪽 아래, S를 오른쪽 위에 표시하고 ∠PRS와 ∠P R Q를 구분하게 했다. 학생은 처음에 두 각을 모두 90°라고 했지만, 가운데 글자가 R인 ∠PRQ만 지름 PQ를 보는 원주각이라는 점을 다시 확인했다. ∠PRS는 P와 S를 잇는 두 현이 만드는 각이므로 지름 PQ의 원주각으로 바로 처리할 수 없다.
이어 지름 XY와 반원 위 점 Z를 제시하고 ∠XZY에 20°를 더한 값, 삼각형 XYZ의 나머지 두 각의 합을 묻자 학생은 먼저 “XY가 지름, Z가 원주 위”라고 적었다. 이후 ∠XZY=90°를 사용하고, 나머지 두 각의 합은 90°라고 설명했다. 숫자나 점의 방향이 바뀌어도 필요한 첫 행동인 ‘지름의 양 끝과 각의 꼭짓점 확인’이 유지된 것이다.
반원의 원주각 문제에서 중요한 기준은 반원 그림을 보면 90°를 떠올리는 데서 끝나지 않는다. 각의 가운데 글자를 확인하고, 그 각의 두 변이 지름의 양 끝점을 연결하는지 근거를 남긴 뒤, 삼각형의 각의 합이나 조건에 다시 대입해야 변형 문제에서도 독립적으로 풀이를 이어갈 수 있다.