김포중3수학과외, 현의 수직이등분선을 맞힌 뒤 조건까지 검증하는 연습
“선분의 가운데를 지나고 직각이면 수직이등분선이에요.” 학생은 이렇게 말한 뒤 좌표평면에 선분을 그리고 답을 적었다. 그림만 보면 맞는 풀이였지만, 식을 쓰는 단계에서 중점의 위치와 직각 조건이 실제로 반영되었는지는 확인하지 않았다. 현의 수직이등분선은 단순히 가운데를 가르는 선을 찾는 문제가 아니라, 현의 양 끝점까지의 거리가 같은 점들의 모임이라는 성질을 식과 조건으로 연결해야 완성된다.
수직이라는 말만 보고 원래 현의 식을 적는 경우
예를 들어 좌표평면에서 현의 양 끝점이 A(2, 1), B(8, 1)로 주어졌다고 하자. 학생은 A와 B의 y좌표가 같다는 점을 보고 현의 수직이등분선도 y=1이라고 적었다. 그러나 y=1은 현 자체의 직선이다. 먼저 중점을 구하면
중점 M=((2+8)/2, (1+1)/2)=(5, 1)
이다. AB는 수평선이므로 AB에 수직인 직선은 수직선이고, M을 지나야 한다. 따라서 수직이등분선의 식은 x=5이다. 여기서 답만 x=5라고 고치는 데 그치지 않고, M(5, 1)이 그 식 위에 있는지와 A, B까지의 거리가 같은지 확인해야 한다.
MA=|5-2|=3, MB=|8-5|=3
이 계산은 그림의 모양을 따라간 것이 아니라 ‘수직이등분선 위의 점은 양 끝점에서 같은 거리’라는 성질을 사용했다는 근거가 된다.
식이 맞아도 중점과 직각 조건을 따로 확인하기
반대로 학생이 x=5를 정확히 적었더라도 풀이가 끝났다고 보지 않는다. 수직이등분선 문제에서는 두 조건을 각각 점검한다.
- 선분 AB의 중점 M을 지나가는가?
- 직선 x=5가 AB와 수직인가?
첫 번째 조건은 M(5, 1)을 대입해 확인할 수 있다. 두 번째 조건은 AB가 수평선이고 x=5가 수직선이라는 관계로 설명한다. 좌표가 복잡한 경우에도 같은 방식으로 중점을 먼저 찾고, 기울기 또는 두 점 사이 거리로 직각과 등거리를 확인한다.
수직이등분선은 ‘중점 + 수직’으로 찾고, ‘양 끝점까지의 거리 같음’으로 검산한다.
현의 성질을 원의 문제에 연결할 때 생기는 혼동
원의 중심 O에서 현 AB에 수선을 내렸을 때 학생이 자주 하는 실수는 “수선이니까 아무 점에서 내려도 현을 이등분한다”고 설명하는 것이다. 실제로 중요한 조건은 수선의 발이 원의 중심에서 현에 내린 수선의 발이라는 점이다. 중심 O가 현의 수직이등분선 위에 있고, 수직이등분선 위의 점은 A와 B에서 같은 거리에 있으므로 OA=OB, 그리고 두 직각삼각형에서 공통인 선분과 빗변이 각각 같아 현이 이등분된다.
이때 풀이에 ‘원의 중심에서 현에 내린 수선’이라는 조건을 적지 않으면, 단순한 직각 표시만으로 결론을 넓혀 버리게 된다. 학생에게는 도형에 먼저 현 AB, 중점 M, 수선 OM을 표시하게 하고, 그 뒤 OM⊥AB와 AM=MB가 어떻게 연결되는지 말하게 한다.
기울기가 있는 현에서 중점을 놓치지 않기
현의 방향이 기울어진 경우에는 그림의 수직선을 감으로 그리지 않도록 좌표를 바꿔 확인한다. A(-1, 2), B(3, 6)인 선분을 생각하면 중점은 M(1, 4)이다. AB의 기울기는
(6-2)/(3-(-1))=1
이므로 수직인 직선의 기울기는 -1이다. M을 지나므로 수직이등분선은 y-4=-(x-1), 즉 y=-x+5이다. 학생이 y=x+3이라고 적었다면 중점은 지나지만 AB와 평행한 식이다. 반대로 y=-x+5에서 상수항을 잘못 계산하면 방향은 맞아도 중점을 지나지 않는다. 따라서 기울기와 중점 조건을 한 줄씩 분리해 기록하는 행동이 필요하다.
수정할 때는 원래 식을 지우고 새 식만 쓰게 하지 않는다. 먼저 A, B를 다시 적고, 중점 M을 표시한 다음, ‘AB의 기울기’, ‘수직선의 기울기’, ‘M을 대입한 식’의 순서로 풀이를 재구성한다. 마지막에는 점 P(0, 5)를 대입해 확인한다. P는 y=-x+5 위에 있고, PA²=(0+1)²+(5-2)²=10, PB²=(0-3)²+(5-6)²=10이므로 A와 B까지의 거리가 같다.
김포의 학교 일정 안에서 검증 문제를 배치하는 방법
김포에서는 감정중학교, 고창중학교, 고촌중학교, 금파중학교, 김포신곡중학교, 김포여자중학교 등이 2025 학교통계의 대표 중학교로 확인된다. 다만 걸포동·고촌읍·구래동·감정동·마산동·북변동의 생활권과 학생별 통학 및 귀가 시간은 서로 다를 수 있으므로 학교별 시험 범위와 수행평가 일정을 동일하게 가정하지 않는 계획이 필요하다. 평일 귀가가 늦은 날에는 새 유형을 많이 배치하기보다 학교 프린트의 현 문제를 중점적으로 다루고, 시간이 확보되는 날에는 좌표가 바뀐 수직이등분선 문제로 검증한다. 장기역이나 양촌현대아파트처럼 생활권에서 확인되는 위치를 통학 시간의 참고점으로 볼 수는 있지만, 이를 학교별 학습환경의 근거로 확대하지 않는다.
독립 확인 문제에서는 선분의 방향, 좌표, 구하는 대상을 바꾼다. 예를 들어 A(1, -2), B(7, 2)의 수직이등분선을 구할 때 학생이 도움 없이 중점 (4, 0)을 찾고, AB의 기울기 2/3에서 수직 기울기 -3/2를 정한 뒤 y=-3/2(x-4)라고 세우는지 본다. 끝으로 임의의 점을 식에 대입해 두 끝점까지의 거리가 같은지 확인한다. 숫자가 달라져도 첫 행동이 ‘중점 찾기’로 유지되고, 수직 조건과 등거리 성질을 스스로 설명한다면 현의 수직이등분선을 외운 것이 아니라 사용할 수 있는 상태다.