사우동중1수학과외, 도수분포다각형의 답을 원래 문장에 대입해 검산하는 연습
“가장 많은 학생이 속한 구간은 10분 이상 20분 미만이고, 도수분포다각형의 꼭짓점은 10과 20에 찍으면 되죠?”
도수분포표를 보고 그래프를 그릴 때 중1 학생이 자주 하는 질문이다. 표의 구간 끝 숫자를 그대로 가로축에 놓는 것이 아니라, 각 계급의 중앙값을 구해 계급값으로 사용해야 한다. 또한 문제에서 묻는 것이 학생 수인지, 특정 구간인지, 그래프의 변화인지 끝까지 읽은 뒤 계산해야 한다.
표의 숫자부터 계산하는 습관이 만드는 오답
예를 들어 다음과 같은 도서 대출 권수 자료가 있다고 하자.
- 0권 이상 2권 미만: 3명
- 2권 이상 4권 미만: 7명
- 4권 이상 6권 미만: 5명
- 6권 이상 8권 미만: 4명
문제가 “도수분포다각형에서 두 번째 점의 좌표를 구하시오”라고 했을 때, 표를 빠르게 본 학생은 (2, 7)이라고 답할 수 있다. 그러나 2는 두 번째 계급의 시작값이고, 도수분포다각형의 가로좌표에는 계급값을 사용한다.
두 번째 계급의 계급값은 (2+4)÷2=3이다. 따라서 두 번째 점은 (3, 7)이다. 세로좌표 7은 해당 계급의 도수이므로 그대로 사용한다. 이처럼 가로축 숫자와 세로축 숫자가 각각 무엇을 의미하는지 분리하지 않으면 그래프의 모양은 그럴듯해도 답의 뜻이 달라진다.
문제를 읽은 뒤 첫 행동을 바꾸는 순서
사우동에서 학교별 시험 범위와 수행평가 준비가 겹치면 지필 복습을 짧게 나누어 진행할 필요가 있다. 이때 도수분포다각형 문제를 풀면서 무작정 여러 문제를 추가하기보다, 한 문제에서 읽기와 검산 순서를 고정하는 것이 효율적이다.
학생은 문제를 받자마자 숫자에 동그라미를 치지 않고 먼저 질문 부분에 밑줄을 긋는다. 그다음 표에서 주어진 값과 구해야 할 값을 서로 다른 표시로 나눈다. 계급은 네모, 도수는 밑줄, 계급값은 별표로 표시한다. 그래프를 그리는 문제라면 가로축이 계급값인지, 세로축이 도수인지 축 옆에 직접 적는다.
예를 들어 “대출 권수가 4권 이상 6권 미만인 학생 수”를 묻는다면 그래프의 점 좌표를 구하는 것이 아니라 해당 구간의 도수 5명을 읽어야 한다. 반대로 “세 번째 점의 좌표”를 묻는다면 세 번째 계급의 계급값과 도수를 한 쌍으로 써야 한다. 질문을 문장으로 다시 말한 뒤 계산을 시작하면, 보이는 숫자를 곧바로 답으로 착각하는 일이 줄어든다.
도수분포다각형을 그린 뒤 실제 의미로 되돌리기
위 자료의 점은 (1, 3), (3, 7), (5, 5), (7, 4)이다. 도수분포다각형을 완성할 때는 계급값을 가로축에 놓고 도수를 세로축에 놓은 뒤 점을 선분으로 연결한다. 처음과 끝을 도수 0인 점으로 연결하는 방식은 교과서나 문제의 지시가 있을 때 적용한다.
그런데 학생이 그래프를 그린 뒤 “두 번째 점은 (3, 7)입니다”라고만 쓰면 좌표 확인은 되었지만 문제의 의미까지 확인한 것은 아니다. 답을 원래 문장에 대입해 “2권 이상 4권 미만 대출 학생은 7명이다”라고 다시 읽어야 한다. 이 문장이 표의 두 번째 행과 일치하는지 확인한다.
“가장 많은 학생이 속한 구간”을 묻는 경우에도 가장 높은 점의 가로좌표 3을 답으로 쓰면 안 된다. 가장 높은 점의 세로값이 7이라는 사실을 먼저 확인하고, 그 점의 계급이 2권 이상 4권 미만임을 문장으로 바꿔야 한다. 답은 “2권 이상 4권 미만” 또는 문제에서 요구한 형식에 맞는 해당 구간이다.
막힌 위치를 질문 한 문장으로 만들기
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 학생은 표를 보고 (4, 5), (6, 4)처럼 계급의 끝값을 점으로 찍은 뒤 선을 연결한다. 그래프가 이상하다는 말을 들어도 “모르겠어요”라고만 한다. 이때 풀이 전체를 대신 고치기보다 막힌 위치를 한 문장으로 바꾸게 한다.
- “계급값을 어느 숫자로 정하는지 모르겠어요.”
- “점의 세로좌표가 계급의 도수인지 확인하고 싶어요.”
- “가장 높은 점의 좌표와 가장 많은 구간 중 무엇을 답해야 하는지 모르겠어요.”
이 질문을 만든 뒤 학생은 해당 행을 손가락으로 짚고, 계급의 양 끝을 더해 2로 나눈다. 계산식 (4+6)÷2=5를 중간에 적고, 도수 5와 혼동하지 않도록 계급값에는 별표를 붙인다. 피곤한 날에는 새로운 고난도 문제를 늘리지 않고 표 읽기 한 문제, 좌표 작성 한 문제, 문장 검산 한 문제로 나누어 수행한다.
숫자와 조건을 바꾼 독립 확인
같은 표를 바로 다시 풀어 맞힌 것으로 끝내지 않는다. 다음에는 계급을 10분 이상 20분 미만, 20분 이상 30분 미만처럼 바꾸고 도수를 6명, 9명, 4명으로 제시한다. 학생이 20과 30을 그대로 점에 찍지 않고 계급값 25를 계산하는지 확인한다.
또 “세 번째 점의 좌표” 대신 “20분 이상 30분 미만인 학생 수”를 묻고, 그래프와 표를 오가며 같은 의미를 찾게 한다. 마지막에는 “가장 높은 점이 나타내는 상황을 문장으로 쓰시오”라는 조건을 추가한다. 학생은 점 (25, 9)을 “20분 이상 30분 미만인 학생이 9명”으로 바꿔 써야 한다.
다음 날에는 표의 순서를 바꾸고, 일주일 뒤에는 세로축 단위를 ‘명’이 아니라 ‘명’으로 명시한 학교 프린트 변형문제를 시간 제한 안에 풀게 한다. 관찰할 기준은 정답 숫자 하나가 아니다. 문제의 요구를 먼저 표시하는지, 계급값과 도수를 구분하는지, 그리고 답을 원래 문장에 대입해 실제 자료의 의미까지 설명하는지다.
자주 묻는 질문
계급값은 항상 계급의 양 끝 숫자를 더해 2로 나누나요?
계급이 일정한 구간으로 제시된 도수분포다각형에서는 각 계급의 중앙값을 계급값으로 사용한다. 문제에서 별도의 기준을 제시하면 그 지시를 따른다.
도수분포다각형의 가장 높은 점은 무엇을 뜻하나요?
그 점의 세로좌표는 해당 계급의 도수이고, 가로좌표는 그 계급의 계급값이다. 따라서 점의 좌표만 쓰지 말고 어떤 구간에 몇 명이 있는지 문장으로 확인해야 한다.