북변동중3수학과외, 중심각과 원주각을 근거로 풀어내는 연습
“중심각이 72°니까 원주각도 36°예요.” 북변동의 한 중3 학생은 그림을 보자마자 이렇게 적었다. 그런데 실제로는 두 각이 바라보는 호가 같다는 표시가 없었다. 학생은 중심각과 원주각의 관계를 외운 상태였지만, 어떤 각이 어떤 호를 가리키는지 확인하지 않고 숫자부터 대입하고 있었다.
이 단원에서 답을 맞히는 것만으로는 풀이가 끝나지 않는다. 중심과 원주 위의 꼭짓점을 구분하고, 각의 양변이 연결하는 끝점을 찾아 같은 호인지 확인해야 한다. 그 과정을 거쳐야 그림이 회전하거나 보조선의 위치가 달라져도 같은 원리를 꺼내 쓸 수 있다.
72°라는 숫자보다 먼저 확인할 것
문제의 원을 그리고 중심을 O, 원주 위의 점을 A, B, C라고 하자. ∠AOB가 중심각이고 ∠ACB가 원주각이라면 두 각은 모두 현 AB가 만드는 같은 호 AB를 본다. 따라서
∠ACB = 1/2∠AOB = 1/2×72° = 36°
이때 중요한 근거는 ‘중심각은 원주각의 두 배’라는 문장만이 아니다. 두 각의 양변 끝점이 각각 A와 B로 같아 같은 호 AB를 가리킨다는 점이다. 학생에게는 답 옆에 “∠AOB와 ∠ACB는 같은 호 AB를 본다”라고 적게 했다. 이 한 줄이 빠지면 계산은 맞아도 적용 이유를 확인하기 어렵다.
반대로 ∠ADB가 원주각이라면 A와 B를 양변 끝점으로 갖는지 먼저 본다. 꼭짓점 D가 원 위에 있다는 사실만으로 모든 원주각을 서로 같다고 판단해서는 안 된다. 각의 양변이 닿는 두 점이 달라지면 바라보는 호도 달라진다.
같은 원주각인지 판단하는 학생의 첫 행동
학생은 처음에 원 안의 각을 보면 꼭짓점만 동그라미 쳤다. 수정할 때는 각의 꼭짓점이 아니라 양변의 끝점을 먼저 표시하도록 했다. ∠ACB라면 A와 B에 표시하고, ∠ADB라면 역시 A와 B에 표시한다. 두 각의 끝점이 같으면 같은 현 AB와 호 AB를 확인할 수 있다.
예를 들어 같은 호 AB를 보는 ∠ACB와 ∠ADB가 있다면 두 각은 원주각이므로 크기가 같다. 한 각이 38°라면 다른 각도 38°이다. 하지만 ∠ACB와 ∠BCD를 비교할 때는 끝점이 각각 A·B, B·D이므로 같은 호라고 할 수 없다. 학생이 “둘 다 원주각이라서 같다”고 말했을 때, 끝점을 다시 짚게 한 이유다.
중심각과 원주각을 거꾸로 사용할 때의 검산
중심각이 주어지지 않고 원주각이 41°인 경우에는 같은 호를 보는 중심각이 82°가 된다. 이때 학생은 41°에 1/2을 곱하는 실수를 했다. 관계식을 방향에 따라 바꾸어 적게 하자.
원주각 = 중심각 ÷ 2
중심각 = 원주각 × 2
계산 뒤에는 반드시 작은 각과 큰 각의 관계를 확인한다. 같은 호에 대한 중심각은 원주각보다 두 배여야 하므로 중심각을 구하고도 41°보다 작게 나왔다면 식의 방향이 잘못된 것이다. 이 검산은 답을 다시 외우는 것이 아니라, 구한 각의 위치와 크기가 원의 구조에 맞는지 확인하는 과정이다.
같은 호를 본다는 근거를 먼저 적고, 중심각과 원주각 중 무엇이 주어졌는지 구분한 뒤 계산한다.
그림이 회전해도 끝점은 변하지 않는다
다음 시간에는 원의 위치를 바꾸고 중심을 왼쪽에 배치한 문제를 제시했다. 이번에는 ∠AOB=110°, ∠ACB를 구하는 형태였다. 학생은 그림의 모양이 달라지자 잠시 멈췄지만, A와 B를 연결하는 두 변을 찾아 같은 호 AB임을 표시했다.
따라서 ∠ACB = 110°÷2 = 55°이다. 이후에는 중심각이 둔각인지 예각인지에 따라 그림을 대략 판단하게 했다. 단, 호의 위치에 따라 원주각이 어느 호를 보는지는 끝점과 각의 내부를 함께 확인해야 하므로 단순히 그림의 위아래만 보고 판단하지 않도록 했다.
특히 한 원에서 같은 현 AB를 보는 원주각이라도 꼭짓점이 호 AB의 반대편에 놓이는지 확인해야 한다. 같은 쪽과 반대쪽에 있는 각은 문제의 표시와 호의 범위를 살펴야 하며, 그림만 보고 무조건 같은 크기라고 단정하지 않는다. 조건이 부족하면 주어진 각과 표시를 근거로 판단해야 한다.
북변동 학생의 주간 풀이에 넣은 확인 순서
- 중심 O와 원주 위의 꼭짓점을 구분한다.
- 각의 양변 끝점을 찾아 두 점을 표시한다.
- 두 각이 같은 호 또는 같은 현을 보는지 문장으로 적는다.
- 중심각이 주어졌는지 원주각이 주어졌는지 확인한다.
- 계산 후 중심각이 원주각의 두 배인지 역검산한다.
북변동에는 금파중학교와 김포중학교가 있으며, 같은 김포시의 감정중학교·고창중학교·고촌중학교는 참고 학교로 구분해 볼 수 있다. 학교별 내신 운영과 학생의 주간 일정은 다를 수 있으므로 특정 학교의 출제 경향을 단정하기보다, 학교 프린트에서 그림의 표시와 서술형 근거를 확인하는 방식으로 준비했다. 수업일에는 개념 설명만 길게 이어 가지 않고, 학생이 실제로 어느 점을 먼저 표시하는지 관찰했다.
새 조건에서 혼자 꺼내 쓰는지 확인한 문제
마지막에는 이전 문제와 숫자와 배치를 바꾸었다. 원의 중심을 O, 원주 위의 점을 P, Q, R로 두고 ∠POR=124°, ∠PQR를 구하게 했다. 학생은 처음에 124°를 그대로 적으려 했지만, 곧 ∠POR은 중심각이고 ∠PQR은 원주각이며 두 각이 같은 호 PR을 본다는 설명을 먼저 작성했다.
그 결과 ∠PQR = 124°÷2 = 62°가 되었다. 이어서 다른 원주각 ∠PSR이 같은 호 PR을 보는 조건을 주자 62°라고 답했고, “끝점 P와 R이 같기 때문”이라고 근거를 덧붙였다. 숫자를 기억해 맞힌 것이 아니라 각의 종류, 끝점, 호의 관계를 새 그림에서 다시 구성한 것이다.
중심각과 원주각 문제의 풀이 기준은 빠른 공식 암기가 아니다. 어느 점이 중심인지, 두 각이 어떤 호를 보는지, 계산 결과가 두 배 관계에 맞는지를 스스로 확인하는 데 있다.