마산동중3수학과외, 중심각과 원주각의 조건을 다시 읽는 법
학생은 원 안에 점 O가 표시된 문제에서 ∠AOB를 보고 “원주각은 두 선분이 원 위에 있으니 중심각과 같다”고 말했다. 이어서 한 호를 가리키며 중심각이 70°이므로 원주각도 70°라고 적었다. 계산 실수라기보다 각의 꼭짓점과 바라보는 호를 구분하지 않은 풀이였다.
중3 원의 각도 문제에서는 그림의 모양보다 각의 꼭짓점이 어디에 있는지 먼저 확인해야 한다. 꼭짓점이 원의 중심 O에 있고 양변이 반지름이면 중심각이다. 꼭짓점이 원 위에 있으며 양변이 원의 다른 점을 연결하면 원주각이다. 같은 호를 바라보는 중심각과 원주각이라면 중심각의 크기는 원주각의 두 배가 된다.
70°라는 숫자보다 꼭짓점과 호를 먼저 표시하기
예를 들어 중심이 O인 원에서 ∠AOB=120°이고 C가 원 위의 점이라고 하자. ∠ACB가 호 AB를 바라보는 원주각이라면
∠ACB = 120° ÷ 2 = 60°
이다. 이때 학생이 해야 할 첫 행동은 120°를 바로 반으로 나누는 것이 아니다. ∠AOB의 양변 OA, OB가 만드는 호 AB와 ∠ACB의 양변 CA, CB가 바라보는 호 AB가 같은지 연결해 표시해야 한다.
반대로 원주각 ∠ACB=35°가 주어지고 중심각 ∠AOB를 구한다면 같은 호 AB를 확인한 뒤
∠AOB = 2×35° = 70°
으로 바꾼다. 중심각에서 원주각으로 갈 때와 원주각에서 중심각으로 갈 때의 방향을 혼동하지 않도록, 학생은 문제 옆에 ‘중심각 = 2×원주각’이라고 쓰고 주어진 각이 어느 쪽인지 표시했다.
원 위의 점을 연결했다고 모두 원주각은 아니다
한 프린트에는 원 위의 A, B, C, D와 중심 O가 함께 표시되어 있었다. 학생은 ∠AOD와 ∠ACD를 모두 원주각이라고 분류했다. 그러나 ∠AOD의 꼭짓점은 원의 중심 O이므로 중심각이고, ∠ACD의 꼭짓점 C는 원 위에 있으므로 원주각이다.
이 장면에서는 ‘각의 양변이 어디에 닿는가’보다 ‘각이 시작되는 점이 어디인가’를 먼저 묻도록 수정했다.
- 꼭짓점이 중심 O인가?
- 꼭짓점이 원 위의 점인가?
- 두 각이 같은 두 끝점 또는 같은 호를 바라보는가?
이 세 질문에 답한 뒤에야 각의 관계를 선택한다. 특히 O가 그림 안에 있다는 이유만으로 모든 각을 중심각으로 보거나, 원 위의 점 세 개가 보인다는 이유만으로 원주각이라고 판단하지 않게 했다.
같은 호를 바라보는지 확인해야 하는 장면
원 위에 A, B, C, D가 있고 C와 D가 같은 쪽에 놓인 경우, ∠ACB와 ∠ADB는 모두 호 AB를 바라보므로 두 원주각의 크기가 같다. 학생은 두 각의 위치가 다르다는 이유로 한 각을 48°, 다른 각을 132°로 나누어 적었지만, 실제로는 같은 호 AB에 대한 원주각이므로 하나가 48°라면 다른 하나도 48°이다.
다만 꼭짓점이 호 AB 위에 놓인 경우나 두 각이 서로 다른 쪽에서 호를 바라보는 그림에서는 표시된 호를 다시 확인해야 한다. ‘원주각은 항상 같다’라고 외우는 대신, 각의 두 변이 만나는 끝점 A, B를 찾아 그 사이의 호를 비교하는 방식으로 바꾸었다.
학생은 풀이 종이에 각의 이름을 그대로 쓰지 않고, 먼저 ∠ACB 옆에 ‘호 AB’, ∠ADB 옆에도 ‘호 AB’라고 적었다. 그 뒤 같은 호에 대한 원주각이라는 근거를 한 줄 남겼다. 답만 맞히는 것과 조건을 설명하며 맞히는 것을 구분하기 위해서다.
직경이 만든 원주각은 별도의 조건으로 처리하기
직경 AB가 표시된 원에서 C가 원 위의 점이라면 ∠ACB는 90°이다. 학생은 직경의 양 끝점 A, B와 중심 O를 연결한 뒤 중심각 ∠AOB를 180°로 확인하고, 원주각은 그 절반이므로 90°라고 설명했다.
여기서도 그림이 반원처럼 보인다는 인상만으로 답을 고르지 않았다. 먼저 AB가 중심 O를 지나가는지 확인하고, 그 다음 ‘직경이 바라보는 중심각은 180°’라는 조건을 사용했다. 만약 AB가 직경이 아니라 단순한 현이라면 같은 결론을 낼 수 없다는 점도 함께 구분했다.
마산동에서 수업 시간을 정할 때에는 학생의 실제 이동과 귀가 시각을 먼저 살핀다. 은여울중학교 재학생이라도 주거지와 학교 사이 거리, 학원 이동 여부에 따라 평일에 집중할 수 있는 시간이 달라질 수 있다. 따라서 짧은 수업에서는 한 그림의 조건 표시와 풀이 근거를 집중적으로 다루고, 시간이 확보되는 날에는 같은 호를 다른 위치에서 바라보는 변형까지 이어 간다. 감정중학교·고창중학교·고촌중학교·금파중학교는 같은 김포시의 참고 학교로 볼 수 있지만, 마산동 소재 학교로 단정하지 않고 학생이 실제 다니는 학교의 문제 형식만 확인해 반영한다.
숫자와 그림이 바뀐 문제에서 스스로 확인하기
마지막에는 이전 문제의 숫자를 기억해서 푸는 것을 막기 위해 조건을 바꾸었다. 중심각 ∠AOB를 86°로 하고, 원주 위의 점 C와 D가 모두 호 AB를 바라보도록 제시했다. 학생은 먼저 두 각의 꼭짓점이 원 위에 있음을 표시하고, 두 각이 같은 호 AB를 본다는 근거를 적었다.
따라서
∠ACB = ∠ADB = 86° ÷ 2 = 43°
이라고 답했다. 이어 직경이라는 새 조건을 넣어 AB가 직경일 때 ∠ACB를 묻자, 이번에는 중심각 180°를 거치지 않고 원주각이 90°라는 조건을 설명했다.
새 그림에서 첫 줄에 ‘중심각인지 원주각인지’, 둘째 줄에 ‘바라보는 호가 무엇인지’를 도움 없이 적었다면 개념을 외운 것이 아니라 조건을 판별해 꺼내 쓴 것으로 본다. 중심각과 원주각 문제의 풀이 기준은 계산 속도가 아니라, 꼭짓점과 같은 호를 정확히 찾아 관계를 선택하는 데 있다.