걸포동중3수학과외, 변형 문제에서 현의 수직이등분을 다시 확인하는 법
학생이 원 문제를 풀며 “현의 수직이등분선은 언제나 원의 중심을 지난다”고 적었다. 그림에서는 맞는 것처럼 보였지만, 다음 문항에서 현의 중점과 중심의 위치가 바뀌자 풀이가 멈췄다. 현의 수직이등분은 그림의 모양을 기억하는 단원이 아니라, 중심에서 현까지 내린 수선과 현의 양끝까지의 거리를 연결해 판단해야 하는 주제다.
현의 가운데에 수선을 내리면 왜 중심을 지나는가
원 O에서 현 AB의 중점을 M이라 하고, OM이 AB에 수직이라고 하자. 학생은 보통 그림을 보고 “가운데처럼 보이므로 OM이 수직”이라고 말하지만, 실제 풀이에는 두 직각삼각형을 비교하는 과정이 필요하다.
삼각형 OMA와 OMB에서 OM은 공통이고, ∠OMA와 ∠OMB는 모두 직각이며, AM=MB이다. 따라서 직각삼각형의 빗변과 한 변이 각각 같으므로 두 삼각형은 합동이다. 그러므로 OA=OB가 성립하고, O는 A와 B에서 같은 거리에 있는 점이다. 원의 중심 O에서 현 AB에 내린 수선은 현을 이등분한다.
반대로 현 AB의 수직이등분선 위에 원의 중심 O가 있다면 OA와 OB는 같은 반지름이므로 OA=OB이다. 이때 O, M을 연결하면 두 직각삼각형의 합동을 통해 OM이 AB에 수직임을 확인할 수 있다. 즉 ‘중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분한다’와 ‘현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다’는 서로 연결된 성질이지만, 문제에서 주어진 조건에 맞춰 출발점을 정해야 한다.
학생의 첫 풀이에서 빠진 것은 그림이 아니라 조건이었다
한 문항에서 AB가 원의 현이고 M이 AB의 중점으로 표시되어 있었는데, 학생은 곧바로 “OM⊥AB”라고 결론 냈다. 그러나 문제에 O가 원의 중심이라는 조건이 있었는지, M이 정말 중점으로 주어졌는지 확인하지 않았다. 답 자체가 우연히 맞더라도 근거가 빠진 풀이였다.
수정할 때는 그림 위에 표시된 조건을 세 종류로 나누어 읽었다. 먼저 O가 중심인지 확인하고, 다음으로 AM=MB인지 확인하며, 마지막으로 직각 표시가 이미 있는지 살폈다. 중심과 중점이 주어졌다면 두 직각삼각형의 합동으로 수직을 설명하고, 중심과 수직이 주어졌다면 두 삼각형의 합동으로 중점을 설명한다. 같은 그림이라도 주어진 조건에 따라 써야 할 결론이 달라진다.
길이만 같다고 바로 현의 수직이등분선이 되는 것은 아니다
학생이 자주 하는 또 다른 실수는 OA=OB라는 사실만 보고 “AB의 수직이등분선이다”라고 쓰는 것이다. O가 A와 B에서 같은 거리에 있다는 것은 O가 선분 AB의 수직이등분선 위에 있다는 뜻이지만, 이를 설명하려면 AB의 중점 M을 잡고 OA=OB, AM=MB, OM 공통을 이용해야 한다.
예를 들어 원의 중심 O에서 현 AB에 내린 선분이 OM이고, AB=12cm라면 수선의 발 M이 현의 중점이므로 AM=MB=6cm이다. 반대로 AM=6cm, MB=6cm이고 O가 원의 중심이라는 조건만 주어진 경우에도 OM을 연결한 뒤 두 직각삼각형의 합동을 이용해 OM⊥AB를 이끌어 낼 수 있다. 단순히 “반지름은 모두 같다”라고만 쓰면 OA=OB까지만 설명한 셈이다.
현의 위치가 달라져도 먼저 중점과 중심을 찾는다
걸포동에서 중3수학과외 학습을 진행할 때는 특정 학교의 출제경향을 단정하기보다, 자녀가 학교 과제와 시험 준비를 어떤 순서로 처리하는지 확인하는 편이 현실적이다. 걸포동 주소의 중학교는 제공 자료에서 확인되지 않으며, 감정중학교·고창중학교·고촌중학교·금파중학교·김포신곡중학교는 같은 김포시의 통학권 참고 학교로만 볼 수 있다. 귀가 뒤 과제량을 처리하고 시험 대비를 시작하는 시점에 따라, 한 문제를 맞혔는지보다 조건을 읽고 근거를 적었는지를 점검하는 시간이 필요하다.
변형 문제에서는 현이 수평으로 놓이지 않을 수 있고, 중심이 현의 위쪽이나 아래쪽에 표시될 수도 있다. 학생은 처음에는 그림이 기울어지자 수직 관계를 찾지 못했지만, 그림을 돌려 보지 않고도 ‘중심 O, 현 AB, 중점 M’을 먼저 표시했다. 그다음 AM=MB를 적고 OM을 연결한 뒤, 직각삼각형 OMA와 OMB의 합동을 적용했다. 도형의 방향이 달라졌을 뿐 성질은 달라지지 않았다는 점을 풀이 안에서 확인한 것이다.
현의 길이와 중심에서 현까지의 거리를 혼동하지 않기
원의 반지름이 10cm이고 중심 O에서 현 AB까지의 거리가 6cm라면, 수선의 발을 M으로 놓았을 때 OM=6cm, OA=10cm이다. 직각삼각형 OMA에서
AM²=OA²-OM²=10²-6²=64
이므로 AM=8cm이다. 현은 수직이등분되므로 AB=16cm가 된다. 학생이 처음에는 10-6=4를 현의 절반으로 적었지만, 두 길이는 직각삼각형의 변이므로 차가 아니라 피타고라스 관계를 사용해야 했다. 계산 뒤에는 6²+8²=10²인지 확인하고, 반현 8cm의 두 배가 원의 지름 20cm보다 작은지도 점검했다.
새 조건에서 수직이등분 성질을 꺼내는지 확인하기
다음에는 반지름 13cm인 원에서 중심과 현 사이의 거리가 5cm인 문제를 제시했다. 이번에는 현의 중점을 먼저 표시하지 않고, 중심 O에서 현 AB에 내린 수선의 발을 M으로 정했다. 학생은 OM=5, OA=13을 적고
AM²=13²-5²=169-25=144
에서 AM=12, AB=24라고 계산했다. 이어 5²+12²=13²로 검산했다. 숫자만 바뀐 것이 아니라 구하는 대상이 현의 길이로 바뀌었는데도, ‘수선의 발이 현의 중점’이라는 성질을 스스로 꺼내 사용했다.
마지막으로 현 AB가 아닌 다른 현 CD가 같은 원에 놓이고 중심에서 CD까지의 거리가 5cm라는 조건을 추가했다. 학생은 CD도 같은 길이인지 묻기 전에, 두 현이 중심에서 같은 거리에 있으면 각각의 수선이 각 현을 이등분한다는 구조를 적용했다. 원의 중심, 현에 내린 수선, 수선의 발, 두 직각삼각형을 차례로 찾는 행동이 유지될 때 현의 수직이등분을 독립적으로 이해했다고 판단할 수 있다.