기흥구중2수학과외, 평행선 선분비 문장제에서 식 세우기가 막힐 때
기흥구에서 중2 수학을 공부하는 학생 중에는 교과서 예제의 숫자와 그림이 익숙할 때는 풀이를 이어 가지만, 문장의 표현이나 도형의 위치가 달라지면 첫 식을 쓰지 못하는 경우가 있다. 특히 평행선이 포함된 선분의 길이 문제에서는 “문제에 나온 숫자는 모두 식에 넣어야 한다”는 생각 때문에 필요한 관계와 참고 정보가 뒤섞인다.
이때 문제 수만 늘리면 풀이량은 많아져도 독립적으로 식을 세우는 범위는 넓어지지 않는다. 핵심은 숫자를 빠짐없이 사용하는 것이 아니라, 구할 것과 직접 연결되는 길이의 관계를 골라 비례식으로 옮기는 과정이다.
도형의 모든 수가 식에 들어가는 것은 아니다
삼각형 ABC에서 D가 AB 위에 있고 E가 AC 위에 있으며 DE가 BC와 평행하다고 하자. AD=4, DB=6, AE=6, EC=9, BC=20, 삼각형 ABC의 둘레가 35라고 주어졌을 때 DE를 구하는 문제를 생각해 볼 수 있다.
DE∥BC이므로 작은 삼각형 ADE와 큰 삼각형 ABC는 닮음이다. 따라서 대응하는 변의 비는
AD:AB = DE:BC
이다. AB=AD+DB=4+6=10이므로
4:10 = DE:20
이 되고 DE=8이다. 여기서 AE와 EC는 AC의 길이와 비례 관계를 확인하는 데 사용할 수 있지만, 이미 AD와 AB, BC만으로 DE를 구할 수 있다. 삼각형의 둘레 35도 DE를 구하는 이 식에는 필요하지 않다.
문제의 숫자를 모두 사용해야 하는 것이 아니라, 구할 양과 같은 닮음 관계에 있는 길이만 선택한다.
기흥구 학생에게 나타난 실제 풀이 장면
한 학생은 위 문제를 보고 먼저 “4, 6, 6, 9, 20, 35를 다 넣어야 한다”고 말했다. 처음에는 4+6+6+9+20+35를 계산한 뒤 무엇을 해야 할지 멈췄고, 다음에는 4/6=DE/20처럼 작은 삼각형과 큰 삼각형에서 대응하지 않는 변을 연결했다. 답지의 8을 본 뒤에는 같은 그림을 다시 풀어 맞혔지만, 숫자를 5, 7, 8, 11로 바꾸거나 평행선의 위치를 옮기면 다시 빈칸으로 남겼다.
이 장면은 단순한 계산 실수와 다르다. 식을 세우기 전 단계에서 구할 것, 대응하는 변, 평행선으로 생기는 닮음 관계를 분리하지 못한 것이다. 특히 시험범위가 넓어지면 앞 단원부터 전부 다시 시작하는 습관이 생겨 현재 문제에 필요한 닮음 조건을 짧게 확인하는 대신 이미 풀었던 예제를 반복하게 된다.
풀이 첫 줄을 고정하지 않고 관계를 표시한다
수업에서는 문제를 읽자마자 계산하지 않고 세 줄을 먼저 쓰게 한다.
- 구할 것: DE
- 평행 조건: DE∥BC
- 대응 관계: AD↔AB, DE↔BC
그다음 도형에서 작은 삼각형과 큰 삼각형의 꼭짓점을 같은 순서로 적는다. A가 공통 꼭짓점이고, D와 B가 같은 변 위에 있으며, E와 C가 같은 변 위에 있으므로 △ADE와 △ABC를 대응시킨다. 이후 AD/AB=DE/BC처럼 같은 위치의 변만 연결한다.
길이를 바로 대입하기 전에 AB=AD+DB처럼 전체 선분을 만드는 중간식을 남긴다. 위 문제라면 AB=4+6=10, 4/10=DE/20, 20×4=10DE, DE=8의 순서다. AE와 EC가 주어졌을 때도 먼저 “이 값이 구할 선분과 같은 대응 관계인가?”를 표시한다. 아니면 옆에 ‘확인용’이라고 적고 식에서 제외한다.
일주일 동안 틀린 문제를 모두 장기 복습 대상으로 삼지 않고, 같은 유형에서 첫 관계 표시가 실패한 문항만 따로 모은다. 각 문항 옆에는 계산 결과가 아니라 ‘구할 것 미표시’, ‘대응 변 오류’, ‘불필요한 수 포함’처럼 막힌 단계를 기록한다.
새 그림과 바뀐 표현으로 독립 적용하기
검증에서는 같은 숫자와 같은 그림을 다시 주지 않는다. 예를 들어 큰 삼각형 ABC에서 DE∥BC인 상태는 유지하되, 이번에는 AD=5, DB=7, DE=9를 주고 BC를 구하게 한다. 학생은 AB=12를 만든 뒤 5/12=9/BC를 세워 BC=108/5, 즉 21.6을 얻어야 한다. 답이 정수가 아니어도 비례식이 정확하면 된다.
다음에는 작은 삼각형이 아래쪽에 보이도록 그림을 돌리고, “두 평행선 사이의 선분 길이”라는 표현 대신 “전체 변에서 일정한 비율로 잘린 부분”이라고 제시한다. 숫자 하나는 둘레에 포함하고, 구할 값과 직접 관련 없는 길이도 넣는다. 학생이 문제의 숫자를 나열하지 않고 평행 조건, 대응점, 필요한 선분을 표시하는지 확인한다.
마지막으로 4분 제한을 둔다. 정답만 보지 않고 ① 구할 양을 표시했는지 ② 전체 선분을 합성했는지 ③ 대응하는 변끼리 비를 세웠는지 ④ 답의 단위와 위치가 맞는지를 채점한다. 같은 문제를 다시 맞힌 것이 아니라 표현과 도형 위치가 바뀌어도 첫 식을 스스로 만들었을 때 독립 적용이 확인된다.
방과후 이동 뒤에도 이어지는 짧은 훈련
구갈동·동백동·마북동·보라동 등 생활권이 넓은 기흥구에서는 학생의 통학 동선과 방과후 이동 시간이 서로 다르다. 구갈중학교, 구성중학교, 나곡중학교, 동백중학교, 보라중학교, 상갈중학교는 기흥구의 대표 중학교로 확인되지만, 이를 모든 학생의 동일한 통학권으로 보기는 어렵다. 그래서 수업에서는 이동 후 긴 문제집 풀이를 요구하기보다, 집에 도착한 뒤 10분 동안 도형 한 개의 ‘구할 것-조건-대응 변’만 표시하게 하는 방식이 현실적이다.
이 기록은 다음 수업의 시작 자료가 된다. 학생이 어느 숫자를 넣었는지보다 왜 그 숫자를 선택했는지를 말하게 하면 식 세우기 실패의 원인이 드러난다. 필요한 선수개념이 부족한 경우에도 닮음 전체를 다시 공부하지 않고, 평행선으로 대응하는 변의 비가 같다는 내용만 짧게 확인한 뒤 현재 문장제로 돌아온다.
자주 묻는 내용
- 문제에 나온 길이는 모두 사용해야 하나요?
- 아닙니다. 구할 양과 직접 연결되는 대응 변만 사용합니다. 나머지 수는 다른 길이를 확인하거나 조건을 구성하는 데 쓰일 수 있습니다.
- 비례식의 순서를 어떻게 정하나요?
- 작은 도형과 큰 도형의 대응 변을 같은 순서로 적습니다. AD와 AB를 짝지었다면 DE에는 BC를 짝지어 AD/AB=DE/BC로 씁니다.
- 답을 맞혔는데도 다시 확인해야 하나요?
- 숫자, 도형 방향, 문제 표현을 바꾼 새 문항에서 첫 식을 혼자 세워야 합니다. 같은 문제의 재풀이만으로는 식 세우기의 독립 적용을 확인하기 어렵습니다.