청덕동중1수학과외, 주어진 것과 구할 것을 나누지 않으면 쉬운 문제도 반복해서 틀리는 이유
“전체 학생 수는 28명이고 남학생은 여학생보다 4명 많다. 여학생 수를 구하여라.”라는 문제에서 숫자 28과 4를 먼저 식에 넣고 보는 학생이 있다. 하지만 이 문제에서 28과 4는 이미 주어진 정보이고, 구해야 하는 값은 여학생 수다. 한 중1 학생이 답지 없이 다시 풀 때도 같은 지점에서 멈춘다면 계산 능력보다 문제의 정보를 분류하는 과정이 먼저 점검되어야 한다.
청덕동의 청덕중학교에서 중1 수학을 공부하는 시기에는 학교 프린트와 수행평가 일정이 겹치면서 시험 직전 학습 시간이 불규칙해질 수 있다. 청덕동 내 학교와 기흥구 내 참고 학교의 위치를 구분하는 것처럼, 수학 문제에서도 문제 안에서 직접 주어진 사실과 앞으로 찾아야 할 값을 분리해야 한다. 지역이나 학교별 출제 경향을 단정할 수는 없지만, 통학과 과제 시간이 함께 늘어나는 상황에서는 긴 시간보다 문제를 읽고 표시하는 절차를 짧게 반복하는 편이 실제 학습에 도움이 된다.
숫자를 모두 식에 넣는 습관이 만드는 오답
예를 들어 “어떤 수의 3배에서 5를 뺀 값이 16이다. 어떤 수를 구하여라.”를 보자. 학생이 문제를 읽자마자 3, 5, 16을 한 줄에 섞어 쓰면 다음과 같이 시작할 수 있다.
3 + 5 + 16 = 24, 또는 3x - 5 = 16에서 x = 16 - 5 = 11
첫 번째 식은 세 수의 관계를 나타내지 않는다. 두 번째 풀이도 3으로 나누는 과정이 빠져 있다. 정확한 정리는 3x - 5 = 16, 3x = 21, x = 7이다. 이때 3은 ‘어떤 수를 3배한다’는 관계이고, 5는 그 결과에서 빼는 수이며, 16은 최종적으로 나온 값이다. 학생이 이 역할을 표시하지 않으면 숫자를 발견한 순서대로 계산하게 된다.
문장제에서 밑줄을 세 종류로 나누어 사용할 수 있다. 이미 알려진 수에는 한 줄, 관계를 나타내는 말에는 동그라미, 구할 값에는 물음표를 표시한다. 위 문제라면 ‘3배’, ‘5를 뺀’, ‘16’을 각각 표시하고 ‘어떤 수’를 x로 바꾼다. 숫자 자체보다 숫자가 문장에서 맡은 역할을 먼저 확인하는 방식이다.
답지를 가린 뒤 드러나는 실제 막힘
시험 직전에는 익숙한 계산 문제를 여러 번 풀고, 오래 걸리는 문제는 뒤로 미루는 행동이 나타날 수 있다. 수업 필기를 다시 볼 때도 풀이가 적혀 있으면 이해한 것으로 생각하지만, 답지를 가리면 첫 줄에 무엇을 써야 할지 모르는 것이다. 특히 도형이나 그래프 자료가 들어간 프린트에서는 그림의 숫자와 문장의 조건을 모두 식에 넣으려는 실수가 생긴다.
가령 “직사각형의 가로는 8cm, 세로는 가로보다 3cm 짧다. 넓이를 구하여라.”에서 가로 8cm와 ‘3cm 짧다’는 주어진 조건이고, 세로와 넓이는 문제를 통해 구할 대상이다. 학생이 8×3으로 넓이를 바로 계산하면 세로의 길이를 구하지 않은 채 두 조건만 곱한 셈이다.
먼저 세로를 8-3=5cm로 구하고, 넓이를 8×5=40cm²로 계산해야 한다. 단위도 길이인 cm에서 넓이인 cm²로 바뀐다. 이 문제에서 필요한 것은 직사각형 전체 도형을 다시 공부하는 일이 아니라, 주어진 값과 중간에 구할 값을 분리하는 짧은 절차다.
시간이 부족한 날에 하는 표시·검산 훈련
공부 시간이 짧은 날에는 새 문제를 많이 풀지 않고, 맞혔지만 오래 걸린 문제를 골라 다음 네 칸을 직접 작성한다.
- 주어진 것: 문제에 이미 제시된 수와 조건
- 구할 것: 마지막에 답해야 하는 값
- 중간에 구할 것: 최종 답을 위해 먼저 찾아야 하는 값
- 검산: 원래 문장에 답을 넣었을 때 조건이 맞는지
직사각형 문제라면 ‘주어진 것: 가로 8cm, 세로는 3cm 짧음’, ‘중간에 구할 것: 세로’, ‘구할 것: 넓이’라고 쓴다. 이후 8-3=5, 8×5=40을 중간식으로 남긴다. 마지막에는 세로 5cm가 가로보다 3cm 짧은지, 40이 8cm×5cm의 넓이인지 확인한다.
초등 계산에서 분수나 뺄셈이 막힌다면 그 부분만 두 문제로 확인한다. 예를 들어 8-3 계산을 못해서 현재 문제를 멈췄다면 뺄셈 두 문제를 푼 뒤 바로 직사각형 문제로 돌아온다. 초등 수학 전체를 처음부터 다시 시작하면 현재 학교 프린트의 문제 읽기 훈련이 중단되기 때문이다.
같은 유형을 넘어선 독립 확인
훈련이 끝났는지는 같은 문제를 다시 맞힌 것으로 판단하지 않는다. 숫자와 문장 구조를 바꾼 문제를 제시한다.
“직사각형의 세로는 5cm이고, 가로는 세로보다 4cm 길다. 넓이를 구하여라.”에서는 주어진 값이 세로 5cm와 차이 4cm이고, 중간에 구할 값은 가로다. 5+4=9cm, 9×5=45cm²가 된다. 앞 문제의 ‘가로에서 뺀다’는 기억만으로 풀면 방향을 틀릴 수 있으므로 ‘길다’와 ‘짧다’의 표현을 다시 표시해야 한다.
다음에는 불필요한 정보를 넣는다. “직사각형의 세로는 5cm이고, 가로는 세로보다 4cm 길며, 색칠한 부분의 넓이는 12cm²이다. 직사각형의 넓이를 구하여라.” 이때 색칠한 부분의 넓이는 구할 값과 직접 관련이 없으므로 제외해야 한다. 학생이 모든 숫자를 사용하지 않고 조건의 역할을 판단하는지가 확인된다.
마지막으로 10분 제한을 둔 짧은 학교 프린트에서 쉬운 문제, 보류 문제, 검산 문제를 표시하게 한다. 다음 날에는 답지를 가린 채 첫 줄의 표시만 다시 작성하고, 일주일 뒤에는 숫자를 바꾼 문제를 도움 없이 시작하게 한다. 주어진 것과 구할 것을 구분한 뒤 중간식을 남기고 문장에 대입해 확인할 수 있다면, 이미 아는 문제를 반복하는 대신 새로운 문제에 같은 읽기 절차를 적용하고 있는지 검증할 수 있다.