언남동중1수학과외, 전개도 표현이 달라져도 같은 입체도형으로 읽는 연습
“이 전개도는 문제집에서 본 모양이 아니니까 다른 문제예요.”
한 중1 학생이 학교 프린트의 전개도를 보고 풀이를 멈추는 장면은 흔히 나타난다. 교과서에서는 정육면체의 면에 번호가 붙어 있었지만, 프린트에서는 번호 없이 같은 크기의 정사각형만 배열되어 있거나, 면의 방향과 배치가 달라져 있기 때문이다. 이때 학생은 전개도를 접었을 때 어떤 입체도형이 되는지 확인하기보다 익숙한 그림인지부터 판단한다.
언남동에서 중1 수학 학습을 점검할 때에도 학교 과제량이나 시험 준비 순서와 함께 이런 문제 풀이의 출발점을 살펴볼 필요가 있다. 언남동 소재 중학교로 확인되는 곳은 언동중학교이며, 구갈중학교·구성중학교·나곡중학교·동백중학교는 같은 기흥구의 참고 학교이지 언남동 소재 학교로 보아서는 안 된다. 학교별 출제 경향을 단정하기보다, 자녀가 귀가 후 프린트와 문제집의 다른 표현을 어떻게 연결하는지 확인하는 것이 더 직접적인 점검이 된다.
전개도를 보자마자 접으려 하지 않는 이유
전개도 문제에서 학생이 처음 하는 행동을 관찰하면 막힘의 위치가 드러난다. 어떤 학생은 그림을 한참 바라보다가 부모나 선생님이 “어느 면부터 볼까?”라고 말해 줄 때까지 연필을 대지 않는다. 또 어떤 학생은 면의 개수만 세고, 서로 맞닿은 변이나 접은 뒤 마주 보는 면은 표시하지 않는다.
예를 들어 정육면체 전개도에 정사각형 6개가 배열되어 있어도, 학생이 “정사각형이 6개이므로 정육면체”라고만 쓰면 충분하지 않다. 전개도를 접었을 때 각 변이 서로 연결되고, 한 면이 여러 위치에 겹치지 않는지를 확인해야 한다. 문제집에서 보던 십자 모양과 다르다는 이유만으로 접히지 않는 전개도라고 판단해서도 안 된다.
초등 계산 공백이 함께 보이는 경우에도 초등 수학 전 범위를 다시 시작할 필요는 없다. 전개도에서 길이를 계산하거나 겉넓이를 구하는 현재 문제에 분수·소수 계산이 직접 방해될 때만 해당 계산 두 문제 정도를 복구한 뒤 다시 전개도에 적용한다. 핵심은 계산량을 늘리는 것이 아니라, 그림의 조건을 먼저 읽고 필요한 계산을 뒤에 배치하는 것이다.
한 줄 표시로 전개도의 구조를 바꾸어 읽기
교과서와 학교 프린트에서 같은 개념을 묻는 전개도를 한 줄에 놓는다. 처음부터 정답이나 접힌 모양을 보여 주지 않고 학생이 두 그림에서 다음 표시를 직접 남기게 한다.
- 면의 개수를 센 뒤 각 면에 임시 번호를 붙인다.
- 서로 맞닿아 있는 변을 같은 표시로 연결한다.
- 기준이 될 면 하나에 밑줄을 긋는다.
- 기준 면에 붙은 면을 접는 방향으로 화살표를 표시한다.
- 문제에서 요구한 길이, 단위, 겉넓이 또는 부피 조건에 동그라미를 친다.
예를 들어 한 전개도에서 가운데 정사각형을 1번으로 정하고 위·아래·왼쪽·오른쪽에 붙은 면을 각각 2번부터 5번으로 표시한다. 남은 면을 6번으로 정한 뒤, 1번 면과 직접 맞닿지 않더라도 접었을 때 어느 면과 만나는지 추적한다. 학생이 그림을 손으로 돌려 보며 “이 면은 반대쪽으로 넘어간다”라고 말할 수 있어야 한다.
정육면체의 한 변이 4cm인 전개도에서 겉넓이를 묻는다면 전개도의 배열 모양보다 정사각형 6개의 넓이가 핵심이다. 한 면의 넓이는 4×4=16㎠이고, 전체 겉넓이는 16×6=96㎠이다. 반면 전개도가 직육면체라면 모든 면의 넓이가 같지 않을 수 있으므로, 정사각형 6개라고 임의로 처리하면 안 된다. 직육면체의 가로·세로·높이 조건을 확인한 뒤 서로 같은 직사각형 면의 개수를 세어야 한다.
표현이 달라진 문제에서 달라진 조건만 찾기
문제집에는 면 번호가 있고 프린트에는 색칠이나 점선만 있는 경우처럼 표현이 바뀌면, 두 문제를 통째로 다른 유형으로 분류하지 않는다. 교과서 문제와 프린트 문제를 나란히 두고 “같은 점”과 “달라진 점”을 각각 한 줄로 적는다.
같은 점은 입체도형의 전개도를 접는다는 것, 면과 변의 연결 관계를 확인한다는 것이다. 달라진 점은 번호의 유무, 그림의 회전, 요구하는 면의 위치, 길이의 단위, 겉넓이와 부피 중 무엇을 묻는지일 수 있다. 이 구분이 되면 그림이 회전되어 있어도 기준 면을 새로 정하고 같은 절차를 적용할 수 있다.
전개도를 접은 뒤 특정 면과 마주 보는 면을 찾는 문제에서는 눈으로만 판단하지 않는다. 기준 면을 정하고 인접한 면을 차례로 접는 표시를 남긴다. “2번 면과 마주 보는 면은 5번”처럼 답을 썼다면, 그 번호가 왜 마주 보는지 접는 순서를 짧게 적는다. 서술형에서는 식만 쓰는 습관을 줄이기 위해 ‘사용한 조건’, ‘계산식’, ‘단위’를 세 칸으로 나누어 확인한다.
처음 보는 전개도로 독립 적용 확인하기
같은 문제를 바로 다시 맞히는 것으로 학습을 끝내지 않는다. 다음 검증에서는 문제집에 없던 배열을 사용하고, 그림을 90도 회전하거나 면 번호를 없앤다. 한 문제에서는 정육면체의 마주 보는 면을 찾게 하고, 다른 문제에서는 직육면체 전개도의 넓이를 구하게 하여 그림의 익숙함이 아니라 조건 표시와 구조 파악을 확인한다.
예를 들어 다음 날에는 전개도에 불필요한 숫자를 하나 추가하고, 길이 단위를 cm에서 m로 바꾼 문제를 제시한다. 학생은 먼저 단위를 확인하고, 입체도형의 종류와 면의 관계를 표시한 뒤 풀이를 시작해야 한다. 일주일 뒤에는 학교 프린트와 전혀 다른 배치의 전개도를 시간 제한 안에서 제시한다. 이때 도움을 기다리지 않고 첫 표시를 남기는지, 서술형 답안에 조건과 단위를 포함하는지를 본다.
전개도 문제의 학습 항목은 ‘정답을 맞혔는가’만으로 종료하지 않는다. 처음 보는 그림에서도 기준 면을 정하고, 접히는 관계를 표시하며, 필요한 조건과 단위를 답안에 남긴다면 해당 항목을 복습 목록에서 뺄 수 있다. 반대로 익숙한 모양에서만 빠르게 풀고 배열이나 표현이 바뀌면 다시 멈춘다면, 더 많은 문제를 추가하기보다 두 자료의 같은 개념과 달라진 조건을 다시 대조하는 것이 우선이다.