신갈동중3수학과외, 통계 답보다 먼저 적용 조건을 확인하는 연습
학생은 다음 자료의 평균을 구하는 문제에서 계산 결과 8을 적었다. 다섯 자료가 6, 7, 8, 9, 10이므로 평균은 실제로 8이다. 그러나 풀이에는 자료의 합과 자료의 개수만 적혀 있고, 문제에서 요구한 ‘평균의 의미’에 대한 설명은 없었다. 선생님이 “이 8은 무엇을 나타내나요?”라고 묻자 학생은 “가운데 있는 값이라서요”라고 답했다. 계산 결과는 맞았지만 평균과 중앙값을 같은 개념으로 설명하고 있었던 장면이다.
중3 통계 문제에서는 정답 숫자를 얻는 것만으로 풀이가 끝나지 않는다. 어떤 대표값을 구하는지, 자료 전체를 사용해야 하는지, 자료를 크기순으로 배열해야 하는지, 결과가 자료의 어떤 상태를 나타내는지까지 확인해야 한다. 신갈동중3수학과외에서는 이 과정을 계산 전 조건 확인, 계산, 의미 해석, 역검산으로 나누어 학생의 풀이 안에 넣는다.
평균과 중앙값을 같은 방식으로 다루던 풀이
학생이 처음 풀었던 문제는 여섯 학생의 통학 시간을 나타낸 자료였다.
15, 18, 20, 22, 25, 40
학생은 자료를 그대로 더해 140을 얻은 뒤 6으로 나누어 평균 23.3분을 계산했다. 여기까지는 맞았다. 하지만 “대부분의 학생이 실제로 걸리는 시간에 가까운 대표값”을 묻자 평균 23.3분이라고 바로 답했다. 40분인 한 자료가 다른 값보다 크게 떨어져 있어 평균이 위로 끌려 올라간다는 점을 확인하지 않은 것이다. 이 문항에서 필요한 것은 평균 계산만이 아니라 이상적으로 큰 값이 대표값에 미치는 영향과 중앙값의 위치를 비교하는 일이었다.
학생에게 먼저 “구하라는 값이 평균인가, 중앙값인가”에 밑줄을 긋게 했다. 평균이면 자료의 합을 자료의 개수로 나누고, 중앙값이면 자료를 크기순으로 정렬한 뒤 가운데 위치를 찾는다. 여섯 개 자료의 중앙값은 세 번째와 네 번째 값의 평균이므로
(20＋22)÷2＝21
이다. 평균 23과 약 21이라는 차이를 보고서야 학생은 40분이라는 큰 값이 평균을 변화시켰다는 설명을 붙일 수 있었다. 단순히 “중앙값이 더 작다”가 아니라 “한 자료가 유난히 크기 때문에 평균이 커지고, 중앙값은 가운데 두 자료를 사용하므로 영향이 상대적으로 작다”라고 말하게 한 부분이 중요했다.
정답 계산 전에 문제의 조건을 문장으로 바꾸기
다음부터는 식을 쓰기 전에 자료의 개수, 요구하는 대표값, 자료의 배열 여부를 짧게 적었다.
- 평균: 모든 자료의 합을 자료의 개수로 나눈다.
- 중앙값: 자료를 작은 값부터 배열한 뒤 가운데 값을 찾는다.
- 최빈값: 가장 많이 나타나는 값을 찾는다.
예를 들어 자료가 4, 5, 5, 6, 20일 때 학생은 처음에 중앙값을 20이라고 적었다. 끝에서부터 세며 가장 큰 값을 가운데 값으로 착각했기 때문이다. 수정할 때는 계산을 지우고 먼저 4, 5, 5, 6, 20처럼 이미 정렬된 자료에서 위치에 번호를 붙였다. 다섯 개 중 세 번째가 가운데이므로 중앙값은 5이다. 이어 평균은 (4＋5＋5＋6＋20)÷5＝8이므로 두 대표값이 다르다는 사실도 확인했다.
이때 평균 8이 중앙값 5보다 크다는 결과를 보고 학생이 “20이 포함되어 평균이 커졌다”고 설명하면, 계산과 수학적 의미가 연결된 것으로 판단한다. 반대로 답만 8이라고 쓰고 “자료의 가운데 값”이라고 설명하면 다시 조건 구분 단계로 돌아간다.
통학 자료를 읽을 때 숫자와 의미를 분리하기
신갈동에는 구갈중학교, 신갈중학교, 용인신릉중학교가 있으며, 같은 기흥구의 구성중학교와 나곡중학교는 참고 학교로 구분된다. 신갈역 등이 확인되는 생활권에서는 학생의 이동 시간이 자료로 제시될 수 있지만, 학교별 실제 통학시간이나 시험 결과를 임의로 일반화해서는 안 된다. 따라서 지역 자료를 활용한 문제에서도 먼저 “이 자료가 신갈동 전체 학생을 나타내는가, 특정 조사 대상만 나타내는가”를 읽어야 한다.
학생에게 다음과 같은 조건을 제시했다.
신갈역에서 학원까지 걸리는 시간이 월요일부터 금요일까지 12, 14, 15, 15, 34분이었다. 평균과 중앙값을 각각 구하고, 두 값이 다른 까닭을 설명하시오.
학생은 이제 자료의 개수가 5개임을 확인한 뒤 평균을 18분, 중앙값을 15분으로 계산했다. 34분이 포함되어 평균이 중앙값보다 커졌다는 설명도 덧붙였다. 다만 “평균 18분이 모든 날의 실제 이동시간”이라고 쓰려 하여, 평균은 자료 전체의 대표적인 수준을 나타내는 값이지 매일 반드시 걸리는 시간은 아니라고 문장을 수정했다.
새 조건에서 계산을 기억한 것이 아닌지 확인하기
독립 검증에서는 숫자와 질문의 순서를 바꾸었다. 자료는 16, 16, 17, 18, 18, 19, 60으로 제시하고, “이 자료의 중앙값과 평균 중 어느 값이 60의 영향을 더 크게 받는가”를 물었다. 학생은 먼저 일곱 개 자료의 네 번째 값이 중앙값이므로 18이라고 적었다. 평균은
(16＋16＋17＋18＋18＋19＋60)÷7＝164÷7
이므로 약 23.4이다. 학생은 평균이 60의 영향을 크게 받아 중앙값 18보다 커졌다고 설명했다. 이전 문제의 34를 외워 답한 것이 아니라, 자료 개수와 위치를 새로 세고 대표값의 성질을 적용한 것이다.
마지막으로 “60을 20으로 바꾸면 어떻게 되는가”를 확인했다. 평균은 (164－60＋20)÷7＝124÷7로 약 17.7이 되고 중앙값은 여전히 18이다. 학생은 큰 값이 줄어들면 평균이 내려가며, 중앙값은 배열상 네 번째 값이 그대로일 때 변하지 않을 수 있다고 설명했다. 통계 풀이에서 필요한 독립성은 정답을 다시 쓰는 데 있지 않고, 조건이 바뀌었을 때 어떤 대표값을 선택하고 왜 그런 계산을 하는지 스스로 말하는 데서 드러난다.