동백동중1수학과외, 전개도에서 맞닿은 면과 마주 보는 면을 구분하는 연습
“이 면은 옆에 있으니까 붙겠지.” 전개도 문제를 풀 때 한 중1 학생이 자주 쓰는 말이다. 하지만 전개도에서 그림 가까이에 놓인 면이 실제 입체도형에서 모두 맞닿는 것은 아니다. 종이를 접었을 때 서로 만나지 않는 면도 있고, 반대로 그림에서는 멀리 떨어져 있어도 접은 뒤 이웃하는 면이 될 수 있다.
동백동에서 학교 수업과 방과후 이동을 마친 뒤 공부하는 학생이라면 학원 숙제까지 끝낸 것을 학교 수학 학습의 완료로 판단하기 쉽다. 그러나 수행평가나 학교 프린트의 전개도 문제는 공식 암기만으로 해결되지 않는다. 주어진 면의 위치와 접히는 방향을 직접 추적해야 하므로, 짧은 문제라도 구조를 확인하는 시간이 필요하다. 동백동 내 중학교로 확인되는 동백중학교와 용인백현중학교를 비롯해 기흥구 내 참고 학교의 자료를 살필 때도 학교별 출제경향을 단정하기보다, 실제 수업에서 요구되는 전개도 읽기 과정을 준비하는 데 초점을 두는 편이 안전하다.
전개도를 눈으로만 기억할 때 생기는 오류
예를 들어 정육면체 전개도에서 가운데 면을 1번, 위쪽 면을 2번, 오른쪽 면을 3번, 아래쪽 면을 4번, 왼쪽 면을 5번, 가장 바깥쪽 면을 6번이라고 하자. 학생이 그림을 보며 “1번 주변에 2, 3, 4, 5번이 있으니 모두 옆면이고, 6번은 반대편일 것”이라고 판단할 수 있다.
하지만 전개도의 모양과 6번의 연결 위치에 따라 접었을 때의 결과는 달라진다. 단순히 평면에서 가까운지를 세면 안 되고, 한 면을 기준으로 각 면이 어느 방향으로 접히는지를 확인해야 한다. 특히 서로 마주 보는 면을 묻는 문제에서 이웃한 면을 답으로 고르는 실수가 많이 나타난다.
또 다른 장면에서는 전개도에 표시된 숫자나 기호를 보고도 학생이 면 사이의 선을 표시하지 않는다. 문제를 끝까지 읽기 전에 답을 고르고, 다음 날 틀린 문제를 다시 풀 때도 같은 그림을 그대로 바라본다. 새로운 전개도보다 문제 수를 늘리는 것이 더 도움이 된다고 생각하지만, 이 경우에는 풀이량보다 접히는 구조를 기록하는 행동이 먼저다.
면 번호와 접힘 선으로 구조를 밖으로 꺼내기
첫 단계는 전개도의 각 면에 번호를 붙이는 것이다. 번호는 문제에 이미 표시된 기호와 겹치지 않게 1, 2, 3처럼 간단히 정한다. 그다음 기준 면 하나를 정하고, 기준 면과 직접 맞닿은 면을 선으로 연결한다. 이때 평면에서 선으로 이어져 있다는 사실과 입체로 접은 뒤 서로 이웃한다는 사실을 구분해서 말해야 한다.
예를 들어 1번 면을 기준으로 잡았다면 “2번은 1번의 위쪽에 연결되어 접힌다”, “3번은 1번의 오른쪽에 연결되어 접힌다”처럼 짧은 말을 면 옆에 적는다. 단순히 숫자만 나열하지 않고 위쪽으로 접힘, 오른쪽으로 접힘처럼 방향을 붙이는 방식이다. 이후 2번 면을 기준으로 계속 접었을 때 어느 면이 위로 돌아오는지 화살표로 표시한다.
학생이 머릿속에서만 전개도를 접으려 할 때는 실제로 작은 종이에 같은 모양을 그리고 선을 따라 접어 볼 수 있다. 중요한 것은 예쁘게 만드는 것이 아니라, 한 면을 접은 뒤 다음 면의 위치가 어떻게 변하는지 확인하는 것이다. 종이를 사용할 수 없는 시험 상황에는 손가락으로 기준 면을 가리고, 접히는 방향을 한 단계씩 말하는 연습으로 바꾼다.
- 각 면에 번호를 붙인다.
- 기준 면을 하나 정한다.
- 직접 연결된 면을 선으로 표시한다.
- 접히는 방향을 짧은 말이나 화살표로 적는다.
- 마주 보는 면과 이웃한 면을 따로 기록한다.
한 문제를 푼 뒤 바로 정답 처리하지 않는 과정
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 학생은 전개도의 1번 면과 6번 면이 마주 보는지 묻는 문제에서 1번 주변에 6번이 없다는 이유만으로 답을 고른다. 처음에는 면 번호를 붙이고, 1번을 바닥이라고 정한 뒤 1번에 연결된 면을 차례로 접는다. 그 과정에서 6번이 어느 방향으로 돌아오는지 선과 화살표로 표시한다.
답을 맞힌 뒤에는 “왜 마주 보는가”를 한 문장으로 적는다. 예를 들어 “1번을 기준으로 주변 면을 접으면 6번은 1번과 직접 맞닿지 않는 반대쪽에 놓인다”처럼 근거를 남긴다. 답만 맞히고 설명을 생략하면 우연히 위치를 기억한 것인지, 실제 접힘을 이해한 것인지 확인하기 어렵다.
피곤한 날에는 전개도 고난도 문제를 여러 개 배치하지 않는다. 한 장의 전개도에 번호를 붙이고, 맞닿는 면을 선으로 연결하고, 마주 보는 면을 표시하는 구조 확인 작업을 먼저 한다. 통학과 방과후 일정 뒤 확보한 자습시간이 짧더라도 이 활동은 한 문제의 조건을 정확히 읽는 훈련이 된다. 이후 남은 시간에는 새로운 문제를 추가하기보다 표시가 빠진 부분을 찾아 수정한다.
배치를 바꾼 전개도로 독립 적용 확인하기
같은 문제를 곧바로 다시 맞히는 것만으로는 충분하지 않다. 다음 검증에서는 전개도의 면 배치를 바꾼다. 가운데 면의 위치는 유지하되 바깥쪽 면을 반대 방향에 놓거나, 한 면을 좌우로 이동해 새로운 전개도를 제시한다. 학생은 앞 문제에서 외운 번호 관계를 사용하지 않고 다시 기준 면을 정해야 한다.
이번에는 “6번은 1번과 이웃하는가, 마주 보는가”처럼 질문의 표현도 바꾼다. 숫자 대신 기호를 넣거나, 일부 면에 색을 표시해 조건을 추가할 수도 있다. 학생이 먼저 면 번호를 붙이고 접힘 방향을 적은 뒤 답을 선택한다면 새로운 배치에도 방법을 적용한 것이다. 반대로 그림의 모양이 조금만 달라져도 이전 답을 그대로 고르면 구조를 이해한 것이 아니라 위치를 암기한 상태다.
다음 날에는 전날과 다른 전개도 한 장을 제시하고, 일주일 뒤에는 제한 시간을 정해 번호 표시부터 답안의 근거 작성까지 진행한다. 복습 종료 시점은 문제를 몇 개 풀었는지가 아니라, 도움 없이 새로운 배치에서 면의 관계를 설명할 수 있는지로 정한다. 전개도 조건을 식 옆에 짧은 말로 붙이듯, 도형 문제에서도 눈으로만 판단하지 않고 접힘 방향과 면의 관계를 기록하는 습관이 오답을 줄인다.