가산동고3수학과외

가산동 생활권 고3 수학과외: 로그 합성함수의 조건과 미분

가산동에는 해당 지역명 주소로 확인되는 고등학교가 없으며, 문일고·독산고·금천고·동일여자고 등 같은 금천구 학교를 통학권 참고 대상으로 볼 수 있다. 가산디지털단지와 구립가산도서관을 오가는 생활 리듬에 따라 풀이 시간을 나누되, 이 학생은 계산 속도보다 함수의 조건을 먼저 해석하는 연습이 필요한 상태였다.

안쪽 함수의 계수를 놓친 실제 풀이

학생은 다음 함수를 미분하면서 이전 문제의 정의역 경계를 그대로 옮겨 적었다.

y = log₂(ln(3x+2))

먼저 로그의 진수 조건을 확인하면

3x+2 > 0, ln(3x+2) > 0

이므로 ln(3x+2) > 0에서 3x+2 > 1, 따라서 정의역은 x > -1/3이다.

학생의 오답: y' = 1/{ln2·ln(3x+2)}

이 식은 틀렸다. 바깥 로그의 미분만 적용하고 안쪽 함수 ln(3x+2)의 미분을 빠뜨렸기 때문이다. 합성함수 미분을 적용하면

y' = 1/{ln2·ln(3x+2)} · 3/(3x+2)

이므로 정확한 답은

y' = 3/{(3x+2)ln2·ln(3x+2)}

이다. 학생은 풀이 중 틀린 줄 옆에 별표를 표시하고, ① 진수 조건 ② 바깥 함수의 미분 ③ 안쪽 함수의 미분 순서로 다시 확인했다. 특히 x=0을 대입하면 원래 함수가 log₂(ln2)로 정의되고, 수정한 도함수는 3/(2ln2·ln2)로 계산되므로 안쪽 계수 3이 실제 변화율에 반영되는지 점검할 수 있다.

표현을 바꾸어 교차검증하기

ln을 자연로그로 바꾸어

y = ln(ln(3x+2))/ln2

라고 쓰면

y' = (1/ln2) · {1/ln(3x+2)} · {3/(3x+2)}

가 되어 같은 결과를 얻는다. 이처럼 답만 맞추는 대신 정의역과 체인 룰의 각 계수를 따로 적으면 부호가 바뀌거나 합성 깊이가 늘어난 문제에서도 이전 경계를 무작정 복사하는 오류를 줄일 수 있다.

조건을 바꾼 독립 검증

다음 문제로 같은 개념을 다시 적용했다.

y = log₅(2 - ln(4x-1))

정의역은

4x-1 > 0, 2-ln(4x-1) > 0

이므로 1/4 < x < (1+e²)/4이다. 미분하면

y' = -4/{(4x-1)ln5·(2-ln(4x-1))}

이다. 학생은 음의 부호, 안쪽 계수 4, 로그의 밑 ln5를 각각 표시한 뒤 x=1/2를 대입해 진수가 양수인지 확인했다. 이 검증에서 정의역 밖 값이 남지 않고 세 요소가 모두 반영되어, 로그 합성함수의 미분을 새로운 형식에도 재적용할 수 있음을 확인했다.