호매실동고2수학과외

호매실동고2수학과외 학습에서는 학교별 진도보다 귀가 후 실제로 남는 풀이 시간을 기준으로 오답의 시작점을 찾아야 한다. 호매실고등학교 과제를 마친 뒤 등비수열 문제를 풀 때, 부분합에서 일반항으로 넘어가는 한 줄이 자주 생략되면 부호와 공비의 오류가 끝까지 이어진다. 호매실동 내 학교와 권선구의 권선고등학교·수원칠보고등학교·영신여자고등학교·고색고등학교는 구분해서 보되, 어느 학교인지와 관계없이 이 유형에서는 계산 줄의 연결을 확인해야 한다.

S_n에서 a_n을 바로 읽을 수 없는 이유

다음 등비수열의 부분합을 살펴보자.

S_n=3(2ⁿ-1)

학생이 자주 적는 오답은 a_n=3(2ⁿ-1)이다. 하지만 S_n은 첫째 항부터 n번째 항까지의 합이므로 일반항과 같은 식이 아니다. n≥2에서는 반드시

a_n=S_n-S_n-1

을 사용한다. 따라서

a_n=3(2ⁿ-1)-3(2^n-1-1) =3·2ⁿ-3·2^n-1 =3·2^n-1

이다. 첫째 항은 별도로 a₁=S₁=3이므로 이 식과도 일치한다. 일반항은 3·2^n-1, 공비는 2가 된다.

부호가 바뀌는 줄에서 공비를 확인한다

부분합이 S_n=4-2ⁿ인 경우에는 부호를 건너뛰면 안 된다.

a_n=(4-2ⁿ)-(4-2^n-1) =-2ⁿ+2^n-1 =-2^n-1

그러므로 a₁=-1, a₂=-2, a₃=-4이고 공비는 2이다. 중간에 -2ⁿ-2^n-1이라고 적으면 공비가 2가 아니라 일정하지 않은 수열처럼 보이게 된다. 이때 풀이를 처음부터 다시 베끼지 않고, 부호가 처음 달라진 줄에서 멈춰 해당 항 두 개를 계산한 뒤 a₂/a₁, a₃/a₂를 각각 확인한다.

항을 구한 뒤 비율을 직접 대조하는 훈련

다음 식을 답안에 남긴다.

S_n=2ⁿ⁺¹-2

먼저 a₁=S₁=2, 그리고

a_n=S_n-S_n-1 =(2ⁿ⁺¹-2)-(2ⁿ-2) =2ⁿ

이므로 a₂=4, a₃=8이다. 이제 4÷2=2, 8÷4=2를 적어 공비가 일정한지 확인한다. 이 한 줄을 남기면 부분합의 식을 일반항으로 잘못 옮겼는지, 뺄셈 과정에서 부호를 놓쳤는지를 구별할 수 있다.

정답만 보고 풀이 근거를 되살리는 검증

검증 문제로 S_n=5-5·3^n-1을 제시하고 일반항이 -10·3^n-2임을 먼저 알려준다. 학생은 이 결과를 그대로 쓰지 않고 역으로

S_n-S_n-1 =(5-5·3^n-1)-(5-5·3^n-2) =-10·3^n-2

를 복원해야 한다. 이어 a₁=-10/3, a₂=-10을 계산해 두 항의 비가 3인지 확인한다. 정답을 맞혔더라도 이 뺄셈과 비율 검사가 빠졌다면 부호·비율 판단이 새로운 조건에서는 아직 유지되지 않은 것이다.