오목천동중3수학과외, 자료의 조건에 따라 대표값을 다시 선택하는 연습
“평균이 가장 큰 값이니까 이 반의 기록이 가장 좋습니다.” 학생은 이렇게 적은 뒤 자료의 가운데 값이나 가장 자주 나온 값을 확인하지 않았다. 실제로 같은 자료라도 무엇을 비교하는지, 이상하게 큰 값이나 작은 값이 섞였는지에 따라 평균·중앙값·최빈값 가운데 적절한 대표값이 달라진다. 중3 통계에서 필요한 것은 세 값을 계산하는 데 그치지 않고, 문제의 상황에 맞는 값을 근거와 함께 고르는 일이다.
계산한 대표값이 질문에 맞는지 먼저 확인하기
수업에서 다음과 같은 두 자료를 제시했다.
자료 A: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5
자료 B: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 25
학생은 두 자료의 최빈값이 모두 4라는 점을 찾았지만, 평균을 계산한 뒤 “B가 더 높은 수준”이라고 해석했다. 자료 A의 평균은 30÷8=3.75이고, 자료 B의 평균은 50÷8=6.25이다. 그러나 B의 25는 다른 값들과 크게 떨어진 이상값이므로, 일반적인 기록의 중심을 비교하는 상황에서는 평균만으로 판단하기 어렵다. 두 자료의 중앙값은 모두 4이다. 8개의 자료에서는 네 번째와 다섯 번째 값을 평균 내므로, 두 자료 모두 (4+4)÷2=4가 된다.
이 장면에서 학생이 놓친 것은 계산 절차가 아니라 질문과 자료의 관계였다. “전체 합을 고르게 나눈 값이 필요한가?”, “자료를 크기순으로 놓았을 때 가운데에 있는 값이 필요한가?”, “가장 많이 반복되는 값을 찾는가?”를 구분하지 않고 숫자가 큰 대표값을 정답처럼 선택한 것이다.
평균이 변한 이유와 중앙값이 유지된 이유를 말로 확인하기
학생에게 B의 25를 6으로 바꾸면 어떤 일이 생기는지 먼저 묻게 했다. 자료는 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6이 되고 평균은 37÷8=4.625로 낮아진다. 중앙값은 여전히 4이다. 큰 값 하나가 평균을 끌어올리지만, 자료의 순서상 가운데 두 값은 바꾸지 못했다는 점을 직접 확인하도록 한 것이다.
반대로 최빈값은 자료에서 가장 자주 나타나는 값이므로, 자료 A와 B에서 모두 4이다. 다만 최빈값이 언제나 존재하는 것은 아니다. 2, 3, 4, 5처럼 모든 값이 한 번씩만 나오면 최빈값이 없다고 해야 한다. 여러 값이 같은 최다 빈도를 가지면 최빈값이 여러 개일 수 있으므로 하나만 임의로 적지 않는다.
‘대표값’이라는 말만 보고 평균을 쓰지 않기
학생은 처음에 “대표값을 구하시오”라는 문장을 보면 평균부터 계산했다. 이를 고치기 위해 문제의 대상과 자료의 특징을 짧게 표시했다.
- 전체 자료의 합을 인원수로 나눈 전형적인 양을 비교하면 평균
- 자료를 순서대로 배열했을 때 가운데 위치를 보고 싶으면 중앙값
- 가장 많이 선택된 상품, 신발 치수, 선호 메뉴처럼 빈도가 중요하면 최빈값
예를 들어 오목천동의 한 학급 학생들이 통학에 걸리는 시간을 조사했다고 하자. 대부분 15분에서 30분 사이인데 한 학생만 90분이 걸린다면, ‘대부분의 학생이 보통 어느 정도 걸리는가’를 나타낼 때 중앙값이 평균보다 상황을 잘 보여줄 수 있다. 반면 전체 학생의 통학 시간 총량을 평균적으로 나누어 비교하려는 목적이라면 평균이 의미를 가질 수 있다. 오목천역과 오목천주공아파트 주변처럼 생활권 안에서도 출발 위치와 이동 경로가 다를 수 있으므로, 실제 문항에서는 통학 시간의 분포와 조사 목적을 함께 읽어야 한다. 특정 학교의 통학 실태나 시험 경향을 지역 자료만으로 단정할 수는 없다.
중앙값을 구할 때 자료 개수부터 세기
학생은 자료가 9개일 때 다섯 번째 값을 잘 찾았지만, 자료가 10개로 바뀌자 여섯 번째 값을 중앙값이라고 적었다. 수정할 때는 계산 전에 자료 개수에 동그라미를 치고, 홀수인지 짝수인지 구분하게 했다.
7, 9, 10, 12, 14, 16, 20, 21, 30, 45
자료가 10개이므로 다섯 번째와 여섯 번째 값인 14와 16의 평균을 구한다. 중앙값은 (14+16)÷2=15이다. 자료를 크기순으로 배열하지 않은 상태에서 가운데에 있는 숫자를 고르면 안 된다. 숫자의 위치가 아니라 크기순 배열 뒤의 위치가 기준이기 때문이다.
이때 학생이 다시 사용한 풀이표에는 ‘정렬 → 개수 확인 → 가운데 위치 결정 → 대표값의 의미 작성’이 적혀 있었다. 단순히 공식을 외우는 대신, 첫 행동을 일정하게 만들어 숫자와 자료 개수가 달라져도 같은 판단을 꺼내도록 한 것이다.
같은 자료라도 구하는 대상이 달라지는 문제
다음 자료는 어느 상점에서 하루 동안 판매된 운동화 치수이다.
240, 250, 250, 250, 260, 270
고객이 가장 많이 찾은 치수를 묻는다면 최빈값 250을 선택한다. 자료를 대표하는 가운데 치수를 묻는다면 중앙값은 (250+250)÷2=250이다. 평균은 (240+250+250+250+260+270)÷6=2520÷6=420이 아니라, 합을 다시 확인해야 한다. 합은 1520이므로 평균은 1520÷6=253과 1/3이다. 이처럼 학생은 처음에 합을 급히 계산하며 250을 세 번 포함한 뒤 1000으로 잘못 묶었다. 수정 행동은 각 자료 아래에 누적 합을 적고, 마지막에 자료 개수로 나누는 것이었다.
그러나 평균 253과 1/3이 실제로 가장 많이 팔린 치수라는 뜻은 아니다. 평균은 계산 결과일 뿐이고, 판매 수요를 말하려면 최빈값이 더 직접적이다. 대표값 선택과 계산 결과의 해석을 분리해야 하는 이유가 여기에 있다.
조건을 바꾼 새 자료에서 혼자 판단하기
마지막에는 앞의 자료를 보지 않고 다음 문제를 풀게 했다.
어느 반의 하루 독서 시간은 10, 12, 12, 13, 14, 15, 15, 16, 80분이다. 학생 대부분의 일반적인 독서 시간을 나타낼 대표값으로 가장 적절한 것을 고르고 이유를 쓰시오.
학생은 먼저 자료를 이미 크기순으로 확인하고, 80분이 다른 값들과 크게 떨어진다는 표시를 했다. 평균은 187÷9로 20과 7/9분이지만, 중앙값은 다섯 번째 값인 14분이다. 따라서 ‘대부분의 일반적인 시간’을 나타내는 값으로 중앙값을 선택하고, 80분이라는 큰 값의 영향을 평균보다 덜 받기 때문이라고 설명했다. 같은 자료에서 ‘전체 독서 시간의 평균’을 묻는다면 평균을 계산해야 한다는 점도 덧붙였다.
영신중학교가 오목천동 내 학교로 확인되고, 고색중학교·곡반중학교·곡선중학교·구운중학교는 같은 권선구의 참고 학교다. 학교별 시험 문제를 확인하지 않은 채 난도나 출제경향을 단정하지 않고, 중학교에서 고등학교로 이동하며 과제와 시험 부담이 늘어나는 시기에도 자료의 조건을 읽고 근거를 쓰는 습관을 유지하는 데 학습 목표를 둔다. 통학 시간처럼 생활 자료를 다룰 때도 먼저 무엇을 대표하려는지 정한 뒤 계산해야 한다.
새 문제에서 학생이 정답을 맞혔다는 사실보다 먼저 확인한 것은 ‘이 자료에서 묻는 대표성은 무엇인가’라는 질문이었다. 평균·중앙값·최빈값의 계산보다 앞서 조건을 표시하고, 자료의 이상값과 개수를 확인한 뒤 선택하는 행동이 독립적으로 남았는지가 판단 기준이 된다.