세류동중3수학과외, 자료가 바뀌어도 평균의 원리를 적용하는 연습
“평균이 12니까 빠진 점수도 12점이에요”라는 답에서 시작한 평균 학습
세류동의 한 중3 학생은 다섯 번의 수학 점수 8, 10, 12, 14, 16의 평균을 정확히 12로 계산했다. 그런데 “네 번째 점수가 빠지고 평균이 11점이 되었다면 빠진 점수는 얼마인가?”라는 문제에서는 11을 그대로 답으로 적었다. 평균을 대표하는 값으로만 기억하고, 전체 자료의 합과 자료의 개수가 연결되어 있다는 점은 풀이에 사용하지 못한 것이다.
이 문제에서 먼저 해야 할 일은 평균을 구하는 것이 아니라, 평균과 자료의 관계를 식으로 바꾸는 것이다. 다섯 자료의 평균이 12라면 전체 합은 12×5=60이다. 네 자료의 평균이 11이라면 남은 네 자료의 합은 11×4=44이다. 따라서 빠진 점수는 60-44=16이다. 학생이 처음 적은 11은 새로운 평균일 뿐, 빠진 자료의 값이 아니다.
평균을 숫자 하나가 아니라 전체 합으로 되돌려 보기
학생의 풀이에는 계산 실수보다 첫 행동의 문제가 분명했다. 문제에 나온 평균을 보자마자 답칸에 옮겼고, 자료의 개수가 달라졌다는 조건에는 표시하지 않았다. 그래서 “평균×자료의 개수=자료의 총합”이라는 문장을 식으로 쓰게 했다.
평균 = 자료의 총합 ÷ 자료의 개수
자료의 총합 = 평균 × 자료의 개수
이후 같은 문제를 다시 풀 때는 문제의 숫자에 밑줄을 긋는 대신, ‘처음 전체’, ‘바뀐 전체’, ‘구할 자료’를 세 칸으로 나누어 적었다. 처음 전체는 평균 12, 자료 5개이므로 합 60, 바뀐 전체는 평균 11, 자료 4개이므로 합 44로 정리했다. 마지막에 16을 네 자료에 넣어 평균이 11이 되는지 확인하자 (10+12+14+8)÷4=11이므로 계산도 맞았다.
자료의 개수가 달라지는지 먼저 표시하기
평균 문제는 숫자만 바뀌는 것이 아니라 자료가 추가되거나 빠지는 방식으로 조건이 바뀐다. 예를 들어 여섯 명의 평균 점수가 15점일 때 전체 점수의 합은 90점이다. 여기에 한 명이 합류해 일곱 명의 평균이 16점이 되었다면 새 전체 합은 112점이고, 새로 들어온 점수는 22점이다. 학생은 처음에 평균의 차이인 1점만 적으려 했지만, 평균이 1점 올라간 것은 기존 여섯 명의 합에 새 점수가 더해진 결과이므로 자료의 개수를 곱해야 한다.
세류동중3수학과외 수업에서는 이런 유형을 학교 프린트의 시험 범위와 함께 배치할 때, 풀이량보다 조건을 읽고 식을 세우는 시간을 먼저 확보한다. 권선중학교와 세류중학교는 세류동 소재 중학교로 확인되며, 고색중학교·곡반중학교·곡선중학교는 같은 권선구의 통학권 참고 학교로 구분해 자료를 살핀다. 평일 귀가 시간이 늦거나 수행평가 일정이 겹치는 주에는 여러 유형을 한꺼번에 늘리기보다, 평균의 총합 변환과 검산이 필요한 문항을 골라 짧게 완성하는 방식이 효율적이다.
맞힌 평균도 자료 변화까지 설명해야 하는 이유
다음 문제에서 학생은 “7개의 자료의 평균이 18이면 합은 126”이라고 바로 답했다. 계산은 맞았지만, “두 자료가 각각 3씩 커지면 평균은 어떻게 변하는가?”라는 질문에는 3이라고 했다. 두 자료의 합만 6만큼 증가하고 자료는 7개이므로 평균의 증가는 6÷7이다. 새 평균은 18+6/7이다.
학생이 고친 행동은 변화한 합을 먼저 계산하는 것이었다. 자료가 모두 같은 수만큼 변하면 평균도 그 수만큼 변하지만, 일부 자료만 변할 때는 증가한 전체 합을 자료의 개수로 나누어야 한다. 이 구분을 말로만 외우지 않도록, 원래 총합과 바뀐 총합을 각각 구한 뒤 두 평균을 비교하게 했다. 평균이 변한 까닭을 “두 자료의 합이 6 증가했고, 7개로 나누기 때문”이라고 설명하면서 식과 언어가 연결되었다.
자료가 추가된 문제에서 평균의 변화를 역으로 확인하기
새 조건에서는 숫자를 바꾸어 세 자료의 평균이 14인 상황에 네 번째 자료 26을 추가했다. 기존 합은 42, 새 합은 68, 자료 수는 4이므로 새 평균은 17이다. 학생은 이번에는 평균 차이 3만 보지 않고, 42+26=68, 68÷4=17을 차례로 적었다. 이어 “새 자료가 기존 평균보다 12점 높고, 네 자료로 나누면 평균은 3점 오른다”고 설명했다.
이 독립 검증에서는 이전 문제의 숫자나 자료 개수를 기억해서 답할 수 없도록, 자료가 빠지는 대신 새로운 자료가 추가되는 조건으로 바꾸었다. 평균을 먼저 추측하지 않고 총합을 계산했는지, 자료 수를 정확히 세었는지, 마지막에 평균을 다시 나누어 확인했는지를 기준으로 풀이를 판단했다. 답 17만 적는 것이 아니라 기존 합, 추가된 값, 새 자료 수를 모두 근거로 남겼을 때 비로소 다른 표현의 평균 문제에도 같은 원리를 적용한 것으로 보았다.
학교 일정 속에서 확인할 평균 풀이 기준
시험 범위가 정해진 주에는 평균 계산 문항과 평균의 변화 문항을 구분해 표시하고, 수행평가가 있는 날에는 새 문제 하나를 풀더라도 ‘평균×자료 수’로 총합을 바꾸는 첫 줄을 직접 쓰게 한다. 평일 학습 시간이 짧다면 틀린 문제를 여러 번 베끼기보다, 숫자·부호·자료 개수가 바뀐 문항에서 같은 식을 다시 세우고 마지막 평균까지 역검산하는 편이 현재 학습 상태를 더 정확히 보여 준다.
평균 문제의 정답은 숫자 하나로 끝나지 않는다. 자료의 개수와 전체 합을 함께 확인하고, 조건이 바뀐 뒤에도 그 관계를 다시 세우는지가 중요한 기준이다.