권선동중3수학과외, 자료 변화와 평균의 조건을 구분하는 연습
평균은 계산보다 자료의 변화를 먼저 읽어야 한다
학생이 다음 자료의 평균을 구하는 문제에서 처음 적은 식은 “(12+15+18+20)÷4=16.25”였다. 계산 자체는 맞았지만, 문제의 뒷부분에는 “각 자료에 3을 더한 새로운 자료의 평균”을 묻는 조건이 붙어 있었다. 학생은 원래 평균을 다시 계산하려고 숫자를 하나씩 바꾸다가, 자료의 개수까지 7개로 잘못 세었다.
이 장면에서 필요한 것은 평균 계산을 더 빠르게 하는 방법이 아니다. 자료가 어떻게 변했는지, 자료의 개수가 그대로인지, 일부 자료만 바뀌었는지를 구분하는 행동이다. 중3 통계 문제에서는 같은 평균 공식이 사용되더라도 변화 조건에 따라 풀이의 첫 단계가 달라진다.
모든 자료에 같은 수를 더한 경우
자료가 12, 15, 18, 20일 때 평균은 16.25이다. 각 자료에 3을 더하면 새로운 자료는 15, 18, 21, 23이 된다. 네 자료의 합은 원래 합 65에 3×4를 더한 77이고, 평균은 77÷4=19.25이다. 따라서 평균도 3만큼 증가한다.
학생이 수정한 풀이에서는 원래 평균 옆에 “자료 4개, 각 자료에 +3”이라고 적고, 16.25+3=19.25를 먼저 확인했다. 이후 직접 합을 구해 같은 결과가 나오는지 검산했다. 자료의 개수가 변하지 않았다는 조건을 확인했기 때문에 두 방법이 연결된다.
평균에 더한 수를 그대로 옮겨도 되는 조건
모든 자료에 같은 수를 더하거나 뺄 때만 평균도 그 수만큼 변한다. 자료 12, 15, 18, 20 중 20에만 3을 더한 경우에는 평균이 3만큼 증가하지 않는다. 합이 3 증가하고 자료의 개수는 4이므로 평균의 변화량은 3÷4=0.75이다. 새 평균은 16.25+0.75=17이다.
학생은 이전에 “3을 더했으니 평균도 3 증가”라고 말했지만, 이제는 먼저 “모든 자료에 더했는가, 한 자료에만 더했는가”를 문장에 표시한다. 이 한 줄이 없으면 계산을 맞히고도 조건을 놓칠 수 있다.
자료의 개수와 합을 따로 확인하기
평균 문제에서 자주 생기는 오류는 자료 하나가 추가되거나 삭제된 상황을 기존 평균에 바로 적용하는 것이다. 예를 들어 네 자료의 평균이 16.25일 때 새로운 자료 25가 추가되면 기존 합 65에 25를 더한 뒤, 자료의 개수 5로 나누어야 한다. 새 평균은 (65+25)÷5=18이다.
학생은 처음에는 “25를 더했으니 평균은 41.25”라고 적었다. 수정할 때는 평균을 합으로 되돌리는 절차를 사용했다.
- 기존 합: 16.25×4=65
- 새로운 합: 65+25=90
- 새로운 자료 수: 5
- 새 평균: 90÷5=18
평균이 주어진 문제에서는 곧바로 평균끼리 더하지 않고, 먼저 평균×자료 수=자료의 합을 적도록 했다. 자료 수가 바뀌는 순간 분모도 달라진다는 점을 식에서 확인하기 위해서다.
일부 자료가 바뀔 때는 변화량을 비교한다
다음에는 평균이 14인 5개의 자료 중 한 자료 9를 19로 잘못 기록했다는 조건을 제시했다. 기록된 자료의 합은 14×5=70이다. 9 대신 19가 들어갔으므로 합이 10 크게 계산된 상태다. 실제 합은 70-10=60이고, 실제 평균은 60÷5=12이다.
학생은 처음에 9와 19를 모두 포함해 다시 평균을 구하려고 했지만, 수정 후에는 잘못 들어간 값과 올바른 값을 나란히 쓰고 19-9=10을 계산했다. 그다음 기록된 평균에서 10÷5=2를 빼서 12를 얻었다. 자료 전체를 다시 나열하지 않아도 되는 이유를 “합에서 10이 빠지고, 자료 수 5는 그대로이기 때문”이라고 설명했다.
평균만 보고 자료의 위치를 단정하지 않기
평균이 같다고 자료의 구성까지 같다고 볼 수는 없다. 10, 10, 20의 평균과 5, 15, 20의 평균은 모두 13.33…이지만 자료가 흩어진 정도는 다르다. 따라서 문제에서 평균의 변화만 물으면 합과 자료 수를 중심으로 보고, 자료가 평균 주변에 얼마나 모였는지를 묻는다면 각 자료의 차이까지 확인해야 한다. 평균 문제에 표준편차나 다른 단원을 임의로 덧붙이는 것이 아니라, 제시된 질문이 평균의 변화인지부터 판별하는 것이 우선이다.
권선동의 학교 일정에 맞춘 확인 방식
권선동에서 학습 일정을 조정할 때는 곡선중학교, 규장중학교, 남수원중학교, 화홍중학교의 실제 시험 일정과 학교별 프린트 진도를 각각 확인하는 방식이 적절하다. 같은 권선구의 고색중학교는 참고 학교로 볼 수 있지만 권선동 소재 학교로 단정하지 않는다. 권선동에는 권선아파트와 권선대림아파트 등 생활권 자료가 확인되므로, 이동 시간을 고려해 주간 학습 시간을 배치하되 지역 전체를 하나의 학군 성향으로 묶지는 않는다.
학교 수업에서 자료 변화 문제가 나온 주에는 학생이 풀이한 식에서 먼저 자료 수, 전체 합, 변화한 자료의 범위를 표시하게 한다. 시험 전날 문제 수를 늘리는 대신, ‘모두 더함’, ‘일부만 더함’, ‘자료 추가’, ‘자료 오류 수정’처럼 조건의 표현을 바꾼 문항을 한두 개씩 점검한다.
숫자가 바뀐 문제에서 첫 행동을 다시 꺼내는가
독립 확인에서는 자료 8, 11, 14, 17, 20의 평균이 14이고, 모든 자료에서 2를 뺀 뒤 새 평균을 묻게 했다. 학생은 자료를 다시 더하지 않고 “자료 수 5개, 모든 자료에 -2”라고 적은 뒤 14-2=12를 답했다. 이어 실제 합 70에서 10을 뺀 60을 5로 나누어 12인지 검산했다.
마지막으로 8에만 2를 뺀 조건에서는 평균의 변화가 -2가 아니라 -2÷5임을 구분했다. 학생이 정답을 기억한 것이 아니라, 조건을 읽고 변화 범위와 자료 수를 먼저 표시한 뒤 평균의 변화를 결정했는지를 확인한 장면이다.