권선동중1수학과외, 괄호가 생긴 식에서 계산 순서와 결론을 다시 확인하는 연습
중1 수학에서 괄호가 들어간 식은 숫자를 빠르게 계산하는 것보다 먼저 식의 구조를 읽어야 한다. 예를 들어 3+2×(5-1)을 풀 때 괄호 안을 먼저 계산하여 3+2×4로 바꾸고, 그다음 곱셈을 계산해 3+8=11을 얻는다. 그런데 학생이 3+2×5-1처럼 괄호를 지워 버리면 결과는 12가 되어 전혀 다른 식을 계산하게 된다.
권선동에는 곡선중학교, 규장중학교, 남수원중학교, 화홍중학교가 있고, 같은 권선구의 참고 학교로 고색중학교가 있다. 학교별 내신 일정과 주간 학습량은 다를 수 있으므로 특정 학교의 시험 경향을 단정하기보다, 학생이 학교 프린트와 교과서의 괄호식을 어떤 순서로 읽고 답을 문장으로 정리하는지 확인하는 것이 중요하다.
괄호를 본 순간 계산부터 시작하는 이유
한 중1 학생의 풀이를 가정해 보자.
18-{6-(2+3)}=18-6-2+3=13
이 풀이에서 첫 번째 문제는 괄호 안을 계산하지 않은 것이고, 두 번째 문제는 괄호 앞의 빼기 기호가 안쪽 항 전체에 영향을 준다는 점을 놓친 것이다. 정확한 과정은 다음과 같다.
18-{6-(2+3)}
=18-{6-5}
=18-1
=17
학생은 “중간 계산에서 틀렸어요”라고 말할 수 있지만, 그 말만으로는 어느 단계에서 식의 의미가 바뀌었는지 알 수 없다. 질문할 때에는 “모르겠어요” 대신 “두 번째 괄호를 먼저 계산했는지”, “괄호 앞의 마이너스가 어디까지 적용되는지”, “첫 줄과 둘째 줄에서 같은 식을 유지했는지”를 표시하게 한다.
계산 순서를 눈에 보이게 만드는 표시
괄호식은 한 줄에 끝내지 않고 계산 대상에 번호를 붙인다. 예를 들어 -4+3×{2-(-5)}에서는 먼저 중괄호 안을 계산한다.
-4+3×{2-(-5)}
① -4+3×{2+5}
② -4+3×7
③ -4+21
④ 17
이때 2-(-5)를 2-5로 바꾸지 않도록 빼기 기호와 음수 기호를 서로 다른 표시로 구분한다. 괄호 안의 결과를 먼저 네모로 묶고, 곱셈과 덧셈을 차례로 처리하면 계산 순서를 섞을 가능성이 줄어든다. 식을 옮겨 적을 때에는 원래 식, 괄호 계산, 곱셈 계산, 덧셈 계산을 각각 다른 줄에 쓴다.
분배법칙으로 풀 수도 있다. 5-{2-(x-3)}와 같은 식을 전개할 때는 안쪽 괄호부터 처리한 뒤 바깥 괄호 앞의 마이너스를 적용해야 한다.
5-{2-(x-3)}
=5-{2-x+3}
=5-{5-x}
=5-5+x
=x
여기서 5-{5-x}를 5-5-x로 바꾸면 결과가 달라진다. 괄호 앞의 부호가 안의 모든 항에 적용된다는 사실을 말로 설명하고, 각 항에 화살표를 표시하게 한다.
정답 뒤에 붙이는 짧은 결론
문장제에서는 계산 결과만 맞혀도 충분하지 않은 경우가 있다. 예를 들어 어떤 수에 4를 더한 뒤 3을 곱했더니 21이 되었다면, 학생이 식을 3(x+4)=21로 세웠는지, 아니면 3x+4=21로 세웠는지를 먼저 확인해야 한다. 괄호는 문제의 관계를 식에 보존하는 역할을 한다.
3(x+4)=21에서
x+4=7
x=3
라고 풀었다면 마지막에는 “처음 수는 3이다”라고 결론을 적는다. 이어서 3(3+4)=21이므로 조건에 맞는지 대입한다. 정답 숫자만 적고 문장과 검산을 생략하면 계산 과정과 문제의 관계가 연결되었는지 확인하기 어렵다.
피곤한 날에도 유지할 최소 학습 단위
시험 직전이나 학교 일정이 많은 날에는 새로운 고난도 문제를 계속 늘리기보다 검산·표시·정리 작업으로 전환할 수 있다. 단, 쉬는 것이 아니라 다음 세 가지를 직접 수행한다.
- 괄호가 있는 식 세 개에서 먼저 계산할 부분에 번호 붙이기
- 각 줄의 부호와 괄호가 원래 식과 같은지 대조하기
- 문장제 답에 단위를 붙이고 원래 조건을 대입해 확인하기
예를 들어 12-{4-(1+2)}를 12-{4-3}=11로 계산한 뒤, 1+2=3, 4-3=1, 12-1=11의 세 단계를 다시 읽는다. 오래 걸렸다면 맞힌 문제라도 ‘재확인’ 표시를 남긴다. 속도보다 계산 순서를 유지했는지를 기록하는 방식이다.
다음 날과 변형 문제에서 확인하는 방법
같은 문제를 바로 다시 풀어 맞히는 것으로 끝내지 않는다. 다음 날에는 숫자와 부호를 바꾼 20-{7-(3+4)}, -6+2×{5-(-1)}를 제시한다. 괄호 위치를 바꾸거나 불필요한 정보를 포함한 문장제로 바꾸어도 같은 절차를 적용하는지 살핀다.
검증할 때는 정답만 보지 않고 다음 질문에 답하게 한다.
- 가장 먼저 계산한 괄호는 어디인가?
- 괄호 앞의 부호가 안쪽 어느 항에 적용되었는가?
- 각 줄에서 식의 값이 바뀐 이유를 설명할 수 있는가?
- 문장제의 답이 질문한 수량과 일치하는가?
- 대입 또는 역산으로 원래 조건을 만족하는가?
일주일 뒤에는 숫자를 다시 바꾼 식과 서술형 문제를 시간 제한 안에서 풀게 한다. 한 문제를 맞혔더라도 오래 머물렀다면 계산 순서 표시와 검산을 다시 확인한다. 권선동중1수학과외에서는 이런 기록을 통해 단순한 계산 실수와 괄호의 의미를 잘못 읽은 오류를 구분하고, 학생이 새로운 식에서도 스스로 첫 계산 대상을 정하도록 훈련할 수 있다.