“자료가 7개인데 중앙값은 가운데 두 수를 더해서 2로 나누는 거죠?” 구운중학교 과제를 풀던 학생은 자료를 정렬하지 않은 채 원래 제시된 순서에서 네 번째와 다섯 번째 값을 골랐다. 자료가 8, 12, 5, 10, 7이라면 학생의 선택은 5와 10이지만, 실제 크기순 배열은 5, 7, 8, 10, 12이므로 중앙값은 8이다. 계산 실수처럼 보이지만, 먼저 자료의 위치를 비교해야 한다는 대표값의 원리가 풀이 첫 단계에서 빠진 장면이다.
정렬하지 않고 가운데를 고르면 중앙값이 달라진다
학생은 평균은 모든 값을 더해 자료의 개수로 나누고, 중앙값은 가운데 값을 고른다는 말은 알고 있었다. 그러나 문제지의 숫자 배열을 그대로 읽으면서 ‘네 번째 값’을 ‘가운데 값’으로 바꾸어 이해했다. 이때 필요한 행동은 계산기를 찾는 것이 아니라 숫자를 작은 수부터 다시 배열하는 것이다. 자료의 개수가 홀수이면 정렬한 뒤 정확히 가운데 한 값을 찾고, 짝수이면 가운데 두 값의 평균을 구한다.
예를 들어 4, 9, 6, 3, 8, 5의 중앙값을 구할 때는 3, 4, 5, 6, 8, 9로 정렬한다. 가운데 두 값은 5와 6이므로 중앙값은 (5+6)÷2=5.5이다. 학생이 6만 답했다면 ‘짝수 개 자료에서 가운데 두 값을 확인했는가’를 되짚어야 한다. 수정 기록에는 “자료 개수 확인 → 크기순 배열 → 가운데 위치 표시”를 남기게 한다.
평균이 변한 까닭을 이상값으로 설명하기
다음에는 평균과 중앙값이 서로 다르게 움직이는 장면을 사용했다. 어느 모둠의 통학 시간 자료가 20, 22, 24, 25, 29분일 때 평균은 120÷5=24분이고 중앙값도 24분이다. 여기에 한 학생의 측정값 80분이 추가되면 자료는 20, 22, 24, 25, 29, 80이 된다. 평균은 200÷6=33⅓분으로 크게 올라가지만 중앙값은 가운데 24와 25의 평균인 24.5분이다.
학생은 처음에 “80분이 포함되었으니 중앙값도 80에 가까워진다”고 썼다. 그러나 중앙값은 양 끝값의 크기보다 정렬된 자료의 중앙 위치에 의해 결정된다. 반면 평균은 모든 값을 합산하므로 매우 큰 값 하나의 영향을 받는다. 이처럼 다른 값들과 유난히 차이가 큰 80을 이상값으로 보고, 평균을 사용할 때에는 이상값이 대표성을 흔드는지 살펴보게 했다. 중앙값이 언제나 더 좋은 값이라고 단정하지 않고, 자료의 목적과 이상값의 발생 이유를 함께 확인해야 한다.
대표값을 고르는 기준을 숫자 옆에 적기
학생의 또 다른 오답은 최빈값이었다. 자료가 1, 2, 2, 3, 4, 5일 때 학생은 “가운데가 2이므로 최빈값은 2”라고 설명했다. 이 경우 최빈값이 2인 것은 맞지만, 이유는 가운데 있기 때문이 아니라 가장 많이 나타났기 때문이다. 반대로 2, 3, 4, 5, 6은 최빈값이 없다. 1, 1, 2, 2, 3은 1과 2가 같은 횟수로 가장 많이 나타나므로 최빈값이 두 개다.
따라서 풀이 옆에 대표값의 근거를 짧게 붙인다.
- 평균: 자료의 합을 자료의 개수로 나눈 값
- 중앙값: 크기순으로 배열했을 때 중앙 위치의 값
- 최빈값: 가장 자주 나타나는 값
표나 점으로 표시된 그림에서도 같은 순서를 지킨다. 예를 들어 점이 2에 세 개, 3에 한 개, 5에 두 개 찍혀 있다면 최빈값은 2다. 점의 위치를 세지 않고 가장 오른쪽 값이나 그림의 중앙을 고르는 행동은 대표값의 정의와 맞지 않는다. 학생에게는 먼저 각 값의 출현 횟수를 표시하고, 중앙값을 구할 때만 전체 자료를 정렬하도록 구분시켰다.
구운동 생활 자료를 숫자의 성격에 맞게 읽기
구운동강남아파트나 구운동삼환아파트처럼 생활권 안에서 수집할 수 있는 귀가 시각, 과제 소요 시간 자료를 다룰 때도 한 가지 대표값만 바로 고르지 않는다. 구운중학교 학생들의 실제 학교별 시험 결과나 통학 시간 분포를 확인한 자료는 아니므로 특정 학교의 난도나 학생 수준을 단정할 수 없다. 다만 자녀의 일주일 과제 시간을 기록한다면 평소와 크게 다른 하루가 있었는지 먼저 표시한 뒤 평균과 중앙값을 함께 비교하는 방식은 연습 자료로 활용할 수 있다. 같은 권선구의 고색중학교·곡반중학교·곡선중학교·권선중학교는 참고 통학권 자료일 뿐 구운동 소재 학교로 표현하지 않는다.
학생은 기록표에서 월요일부터 금요일까지의 시간을 그대로 읽어 중앙값을 골랐다. 수정 후에는 숫자를 정렬하고, 결석이나 특별한 행사로 생긴 긴 시간을 별표로 표시했다. 이어 “평균은 전체 합의 영향을 받고, 중앙값은 순서상 가운데 위치를 본다”고 자신의 말로 설명한 다음 대표값을 선택했다. 숫자만 계산한 것이 아니라 자료가 만들어진 상황까지 살핀 것이다.
숫자와 부호를 바꾼 새 자료에서 다시 확인하기
다음 검증 문제에서는 자료를 -3, -1, 0, 2, 2, 14로 바꾸었다. 학생은 양수만 정렬하려다 음수를 뒤로 밀었지만, 수정한 절차에 따라 -3, -1, 0, 2, 2, 14의 순서를 확인했다. 중앙값은 0과 2의 평균인 1이고, 최빈값은 2이다. 평균은 14÷6=7/3이다. 14가 다른 값보다 큰 이상값처럼 보이지만, 자료의 목적에 따라 실제 관측값인지 입력 오류인지 먼저 확인해야 한다.
마지막에는 표 대신 점 그림을 제시하고, 구하는 대상을 평균에서 중앙값으로 바꾸었다. 학생은 예전 답을 기억해 2를 쓰지 않고 점의 개수를 세고 위치를 다시 배열해 중앙값을 구했다. 숫자, 부호, 표현 방식이 달라져도 ‘무엇을 대표값으로 묻는가’와 ‘이상값이 결과에 어떤 영향을 주는가’를 먼저 확인하는 행동이 남았는지가 독립 적용의 기준이 되었다.