곡반정동중3수학과외, 이상값에 흔들리지 않고 대표값을 검산하는 연습
학생은 다음 자료에서 평균을 구한 뒤 “가장 큰 수가 있으니 평균은 의미가 없다”고 적었다.
자료: 6, 7, 7, 8, 32
학생의 답: 평균은 8, 중앙값은 7, 최빈값은 7이다.
중앙값과 최빈값은 맞았지만 평균 계산은 틀렸다. 6+7+7+8+32=60이고 자료가 5개이므로 평균은 12이다. 학생은 32를 계산에서 제외한 채 앞의 네 수만 더해 평균을 구했다. 이상값을 발견한 것과 평균 계산에서 그 값을 임의로 빼는 것은 전혀 다른 행동이다.
32를 발견해도 평균에서 삭제할 수 없는 이유
이상값은 다른 자료와 비교해 유난히 크거나 작은 값이다. 이 자료에서 32는 나머지 값보다 크므로 평균을 끌어올린다. 그렇다고 문제에서 “32를 제외한다”거나 “이상값을 제거한 자료의 평균을 구한다”는 조건이 없다면 반드시 전체 자료에 포함해야 한다.
학생에게는 먼저 자료 개수를 세고, 합계를 표시한 뒤 평균식을 쓰게 했다.
자료의 합: 6+7+7+8+32=60
자료의 개수: 5
평균: 60÷5=12
그 다음 중앙값은 자료를 작은 수부터 확인한 뒤 가운데 값 7을 고르고, 최빈값은 가장 많이 나온 7로 구분했다. 평균·중앙값·최빈값을 한꺼번에 감으로 고르는 대신 각각의 정의를 식과 문장으로 연결한 것이다.
같은 자료에서 대표값의 역할을 나누어 보기
32가 포함된 자료의 평균은 12이지만 중앙값은 7이다. 두 값이 다른 것은 계산 실수가 아니라 이상값의 영향 때문이다. 평균은 모든 자료를 합산하므로 32의 영향을 크게 받고, 중앙값은 자료의 순서상 가운데 위치를 사용하므로 상대적으로 덜 변한다.
따라서 “대표값은 하나만 정답”이라고 말하기보다 자료의 특징에 맞는 값을 판단해야 한다. 예를 들어 다섯 가구의 월별 지출이 6만 원, 7만 원, 7만 원, 8만 원, 32만 원이라면 32만 원이 특별한 사건으로 발생한 값인지 확인할 필요가 있다. 문제에서 전체 자료의 평균을 요구하면 12만 원을 계산하고, 평소 지출 수준을 나타내려면 중앙값 7만 원이 더 적절할 수 있다. 단, 적절한 대표값을 묻는 문제에서는 그 이유를 자료의 이상값과 연결해 써야 한다.
평균이 맞아도 합과 개수를 남겨야 하는 까닭
다른 문항에서 학생은 자료 4, 5, 6, 7의 평균을 5.5라고 맞혔지만 풀이에는 답만 적었다. 이 경우 평균은 (4+5+6+7)÷4=22÷4=5.5로 맞다. 그러나 대표값을 비교하거나 자료 하나가 바뀌는 문제에서는 합과 개수가 남아 있어야 검산할 수 있다.
예를 들어 7이 17로 바뀌면 합은 32에서 42가 되고 평균은 42÷4=10.5가 된다. 학생이 기존 답 5.5를 그대로 옮긴다면 자료 변화에 반응하지 못한 것이다. 수정 행동은 간단하다. 자료가 바뀐 숫자에 표시하고, 기존 합에서 7을 빼고 17을 더한 뒤 다시 자료 개수로 나누게 한다.
곡반정동에서 학교별 일정에 맞춘 자료 해석
곡반정동의 지역 내 중학교로 확인된 곳은 곡반중학교이며, 고색중학교·곡선중학교·구운중학교·권선중학교는 같은 권선구의 참고 학교다. 이 학교들을 곡반정동 소재 학교로 표현하거나 지역 전체의 시험 경향을 하나로 단정하지는 않는다. 같은 권선구 안에서도 학교별 내신 일정과 학생의 주간 학습 시간이 다를 수 있으므로, 수업에서는 학교 이름보다 학생이 실제로 받은 자료와 풀이 기록을 기준으로 확인한다.
주중에 서술형 자료 해석 문제를 풀 시간이 짧은 학생이라면 한 문항 안에서 다음 네 가지 표시만 남긴다. 자료의 합, 자료의 개수, 정렬 여부, 이상값의 영향이다. 모든 통계 단원을 다시 펼치는 방식이 아니라 현재 틀린 문항에서 필요한 판단을 바로 고치는 방식이다.
숫자와 질문이 바뀐 문제에서 독립적으로 확인하기
수정 뒤에는 다음 문제를 제시했다.
자료: 11, 12, 12, 13, 42
평균, 중앙값, 최빈값을 각각 구하고 42가 대표값에 미치는 영향을 설명하시오.
학생은 먼저 42를 동그라미 친 뒤 “제외하지 않고 계산한다”고 말했다. 합은 90, 자료의 개수는 5이므로 평균은 18이다. 중앙값은 12, 최빈값도 12이다. 이어 “42 때문에 평균은 12보다 커졌지만 중앙값과 최빈값은 12로 유지된다”고 설명했다.
마지막으로 질문을 바꾸어 “42를 제외한 네 자료의 평균”을 물었을 때는 합 48을 자료 4개로 나누어 12라고 계산했다. 이번에는 이상값을 임의로 삭제한 것이 아니라 문제의 조건이 바뀌었기 때문에 제외한 것이다. 답을 기억한 것이 아니라 조건을 읽고 포함할 자료를 결정한 뒤, 합과 개수로 검산하는 행동이 나타났는지를 확인하는 과정이다.
자주 묻는 질문
이상값이 있으면 중앙값을 항상 사용하나요?
항상 그렇지는 않다. 문제에서 요구한 대표값을 먼저 구하고, 자료의 목적과 이상값의 의미를 근거로 적절한 대표값을 판단한다.
평균 계산에서 이상값을 빼도 되나요?
제외 조건이 있을 때만 가능하다. 조건이 없다면 이상값도 전체 자료에 포함해 평균을 구해야 한다.