군포중3수학과외, 현과 중심의 관계를 맞힌 뒤에도 검증하는 풀이
“현의 중점과 원의 중심을 이으면 현과 수직이다.” 학생은 이 문장을 보고 곧바로 답을 적었다. 답 자체는 맞았지만, 왜 수직인지 식이나 성질을 쓰지 않았고 그림의 선분이 정말 현인지도 확인하지 않았다. 군포 지역 중3 수학에서는 같은 원의 성질을 알고 있어도 학교별 내신 문항의 그림 배치와 조건 제시 방식에 따라 풀이 첫 단계가 달라질 수 있다. 따라서 현과 중심의 관계를 외워 정답만 고르는 것보다, 조건을 읽고 성질이 적용되는 이유를 확인하는 과정이 중요하다.
현의 중점과 중심을 연결하면 왜 수직이 되는가
원 안의 현 AB가 있고, 원의 중심을 O, 현 AB의 중점을 M이라고 하자. O와 A, O와 B를 연결하면 OA와 OB는 모두 반지름이므로 길이가 같다. 또 AM과 BM은 M이 AB의 중점이므로 서로 같다. OM은 두 삼각형 OAM과 OBM에 공통으로 들어간다.
따라서 △OAM과 △OBM은 세 변의 길이가 각각 같아 합동이다. 합동으로부터 ∠OMA와 ∠OMB가 같고, 두 각은 일직선 AB 위에 놓인다. 두 각의 합이 180°이므로 각각 90°가 된다. 그러므로 OM⊥AB이다.
학생이 처음 적은 “중심과 현의 중점을 이은 선은 현과 수직”이라는 답은 결론으로는 옳다. 하지만 그림에서 M이 실제로 현 AB의 중점이라는 조건을 확인하지 않았다면, 단순히 선분의 모양만 보고 수직을 판단한 셈이다. 이때 답안에는 “OA=OB, AM=BM, OM은 공통이므로 두 삼각형이 합동이고, 따라서 OM⊥AB”처럼 성질이 이어지는 근거를 남겨야 한다.
중점 표시가 없는 그림에서 바로 수직을 쓰지 않기
다음과 같은 문제에서 학생의 첫 풀이가 자주 멈춘다.
중심 O에서 현 AB에 내린 수선의 발을 M이라 할 때, AM과 BM의 관계를 구하여라.
학생은 “수선이므로 AM=BM”이라고 썼다. 이 경우 결론은 맞지만, 수선이라는 조건만으로 곧바로 현의 두 부분이 같다고 쓰기보다는 반지름과 직각삼각형의 관계를 확인해야 한다. OA와 OB는 반지름이므로 OA=OB이고, OM은 공통이다. ∠OMA와 ∠OMB가 각각 90°이므로 두 직각삼각형 OAM, OBM은 빗변과 한 변이 같아 합동이다. 따라서 AM=BM이다.
즉 두 방향의 정리를 구분해야 한다. 현의 중점을 중심과 연결하면 현에 수직이 되고, 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분한다. 문제에서 먼저 주어진 조건이 ‘중점’인지 ‘수선’인지에 따라 학생이 써야 할 첫 문장이 달라진다.
서로 비슷한 두 문장을 구별하는 연습
- M이 현 AB의 중점이다 → OM⊥AB를 증명할 수 있다.
- OM⊥AB이다 → OA=OB인 원에서 AM=BM을 이끌어 낼 수 있다.
둘은 같은 성질을 반대 방향으로 사용하는 관계다. 학생이 틀린 것은 공식을 몰라서라기보다 주어진 조건과 구해야 할 결론을 바꾸어 읽었기 때문이다. 문제를 풀 때는 그림에 O, A, B, M을 직접 표시하고, ‘주어진 것’과 ‘증명할 것’을 각각 한 줄로 적게 한다.
맞힌 답 뒤에 남겨야 할 세 가지 확인
현과 중심 문제를 푼 뒤에는 답만 지우고 넘어가지 않는다. 먼저 AB가 원의 두 점을 잇는 현인지 확인한다. 원 위의 한 점과 중심을 잇는 선분은 현이 아니므로, 현의 중점 정리를 그대로 적용할 수 없다. 다음으로 O가 정말 원의 중심인지 살핀다. 중심이 아닌 임의의 점에서 현에 선을 그었다면 OA=OB라는 반지름 조건을 사용할 수 없다. 마지막으로 M이 AB의 중점인지, 아니면 단지 AB 위의 한 점인지 구별한다.
학생에게는 풀이 옆에 다음처럼 짧은 점검표를 쓰게 했다.
- O는 중심인가?
- A와 B는 원 위의 점인가?
- M은 AB를 같은 길이로 나누는 점인가?
- 사용한 결론이 주어진 조건에서 실제로 나오는가?
이 점검은 군포책마을이나 수리산역 인근처럼 학생의 이동과 주간 일정이 서로 다른 환경에서도 과외 시간에 짧게 적용할 수 있다. 군포시의 곡란중학교, 군포중학교, 궁내중학교, 금정중학교, 당동중학교, 당정중학교는 대표 학교로 확인되는 곳이지만, 이를 모든 산본동·금정동 학생의 동일한 통학권이나 시험 방식으로 확대해 판단하지 않는다. 실제 지도에서는 학생이 다니는 학교의 프린트와 주간 진도, 서술형 답안 요구를 기준으로 현과 중심 문제를 조정한다.
숫자가 바뀐 새 문제에서 성질을 꺼내는가
수업 후에는 같은 그림을 다시 풀게 하지 않고 조건을 바꿨다.
반지름이 13cm인 원에서 중심 O와 현 AB 사이의 거리가 5cm이다. 중심 O에서 현 AB에 내린 수선의 발을 M이라 할 때, 현 AB의 길이를 구하여라.
이 문제에서 학생은 먼저 OM⊥AB를 표시하고, 수선이 현을 이등분한다는 성질을 꺼냈다. 따라서 AM=BM이고, 직각삼각형 OAM에서 OA=13, OM=5이다.
AM²+OM²=OA²
AM²+5²=13²
AM²=144
AM=12
그러므로 AB=2AM=24cm이다. 이번에는 단순히 이전 답을 기억한 것이 아니라, ‘중심에서 현에 내린 수선’이라는 새 표현에서 현의 중점을 찾아냈다. 마지막으로 12²+5²=13²을 다시 계산하고, 현의 길이 24cm가 지름 26cm보다 짧은지도 확인했다.
현과 중심의 관계를 이해했다는 기준은 “수직이다”를 말하는 데서 끝나지 않는다. 중점이 주어졌을 때 수직을 설명하고, 수선이 주어졌을 때 현의 양쪽 길이를 구하며, 숫자와 문장 순서가 바뀌어도 필요한 성질과 검산을 스스로 선택하는 데 있다.