산본동중3수학과외, 현과 중심의 관계를 변형 문제에서도 적용하는 법
“현은 항상 중심을 지나가요”라는 설명부터 바로잡기
산본동 중3 수학 수업에서 원 단원의 문제를 풀던 학생이 “현은 원 안에 있으니까 중심을 지나야 한다”고 말한 적이 있습니다. 그림에서는 현의 선분이 중심 가까이에 놓여 있었지만, 중심을 통과하지는 않았습니다. 학생은 현과 지름을 구분하지 못한 채, 보이는 위치만으로 답을 정하고 있었습니다.
현은 원 위의 두 점을 이은 선분입니다. 중심을 지나면 특별히 지름이 되지만, 모든 현이 지름인 것은 아닙니다. 현과 중심 사이의 관계를 판단할 때는 선분의 모양보다 중심에서 현에 내린 수선, 그리고 그 수선이 현을 어떻게 나누는지를 확인해야 합니다. 이 관계를 이용하면 그림이 회전되거나 구하는 대상이 바뀌어도 같은 원리로 풀 수 있습니다.
중심에서 현에 내린 수선이 왜 중요한가
원 O에서 현 AB가 있고, 중심 O에서 AB에 수선의 발을 H라고 하겠습니다. 그러면 두 직각삼각형 OHA와 OHB는 빗변 OA와 OB가 각각 반지름으로 같고, OH는 공통이므로 합동입니다. 따라서 AH=HB가 됩니다. 즉, 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분합니다.
학생은 처음에 AB=14, OH=9인 문제에서 “반지름이 9이므로 반원의 지름을 구한다”고 적었습니다. 그러나 OH는 반지름이 아니라 중심과 현 사이의 거리였습니다. 반지름이 9라는 조건도 없으므로 그 수치만으로 지름을 정할 수 없습니다. 먼저 중심, 현, 수선의 발을 구분하고, 주어진 값이 어느 선분의 길이인지 표시해야 합니다.
중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분한다. 반대로 중심에서 현의 중점을 이은 선분은 그 현에 수직이다.
맞힌 계산보다 먼저 확인할 선분의 이름
반지름이 13이고 중심에서 현까지의 거리가 5인 경우에는 수선의 발을 H라 두면 OA=13, OH=5, AH=HB가 됩니다. 직각삼각형 OHA에서
AH²=OA²-OH²=13²-5²=169-25=144
이므로 AH=12, AB=24입니다. 여기서 학생이 자주 쓰는 13-5=8은 두 길이가 직각삼각형의 변이라는 사실을 반영하지 못한 계산입니다. 길이 관계를 식으로 옮기기 전에 직각 표시와 반지름 표시를 함께 확인해야 합니다.
수업에서는 학생에게 바로 공식을 외우게 하지 않고, 그림에 OA와 OB를 같은 표시로 체크하게 했습니다. 그다음 H가 현의 중점이라는 사실을 이용해 AH만 구하고, 마지막에 AB=2AH를 적도록 했습니다. “왜 두 배를 하는가?”를 설명하지 못하면 계산 결과가 맞아도 풀이를 끝내지 않도록 했습니다.
그림이 기울어져도 같은 관계를 찾는 연습
변형 문제에서는 현이 수평으로 그려지지 않고, 수선의 발이 현의 왼쪽이나 오른쪽에 놓인 것처럼 보이기도 합니다. 이때 학생은 눈에 보이는 방향을 기준으로 “왼쪽 부분이 더 길다”고 판단하기 쉽습니다. 그러나 중심에서 현에 내린 수선이라는 조건이 같다면 두 부분의 길이는 반드시 같습니다.
예를 들어 반지름이 10이고 현의 길이가 16이라면, 현의 중점을 H로 표시하여 AH=HB=8로 둡니다. 직각삼각형에서 OH²=10²-8²=36이므로 OH=6입니다. 처음 문제처럼 중심에서 현까지의 거리를 구하는 형태로 바뀌어도, 현을 먼저 이등분한 뒤 피타고라스 관계를 세우는 순서는 달라지지 않습니다.
산본동 학교 일정에 맞춘 짧은 확인 방식
산본동에는 2025년 주소 기준 곡란중학교, 궁내중학교, 도장중학교, 산본중학교, 수리중학교가 확인됩니다. 산본주택단지와 산본래미안아파트, 산본로데오 생활권에서 이동하는 학생은 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간이 서로 다를 수 있으므로 한 단원 전체를 같은 속도로 배정하기보다 현재 학교 자료에서 막힌 관계 하나를 먼저 정하는 방식이 효율적입니다.
예를 들어 평일 귀가가 늦은 날에는 20분 동안 그림에 중심·현·수선의 발만 표시하고, 다음 수업에서 숫자가 들어간 문제를 풉니다. 시험 직전에는 새 문제를 많이 풀기보다 ‘현의 길이를 구하는 문제’와 ‘중심에서 현까지의 거리를 구하는 문제’를 한 세트로 배치해 구하는 대상이 바뀌었을 때도 같은 관계를 꺼내는지 확인합니다. 학교 자료가 없는 상태에서 특정 학교의 시험 난도나 출제 경향을 단정하지 않고, 실제 프린트와 범위에 맞춰 순서를 조정합니다.
새 조건에서 도움 없이 관계를 꺼내는가
마지막 확인에서는 그림을 90도 회전하고, 현을 AB 대신 CD로 바꾸었습니다. 반지름 17, 중심에서 현까지의 거리 8을 제시한 뒤 현의 길이를 물었습니다. 학생은 처음에는 17-8을 하려다가 멈추고, 중심 O에서 현에 내린 수선의 발을 M으로 표시했습니다. 이어 OM=8, OC=17, CM=MD라고 적은 뒤
CM²=17²-8²=289-64=225
에서 CM=15, CD=30을 얻었습니다. 그림의 방향이나 문자, 숫자가 달라졌지만 첫 행동이 ‘수선의 발 표시와 현의 이등분 확인’으로 바뀌었다는 점이 중요합니다. 같은 답을 기억해 쓴 것이 아니라, 현과 중심의 관계를 새 조건에서 다시 적용한 것입니다.
산본동중3수학과외에서 이 단원을 점검할 때는 정답 개수보다 학생의 풀이 첫 줄을 봅니다. 중심에서 현에 내린 수선을 찾고, 반지름으로 직각삼각형을 만든 뒤, 현의 중점을 이용해 결과를 검산하는 과정이 스스로 이어지는지가 독립 적용의 기준입니다.