금정동중3수학과외, 현의 수직이등분선 조건을 그림보다 먼저 판별하기
학생이 원 안에 그어진 현 AB를 보고 “현의 수직이등분선은 항상 원의 중심을 지난다”고 적었다. 답 자체는 특정 상황에서 맞을 수 있지만, 이 문장만 외운 상태에서는 조건이 바뀌었을 때 쉽게 흔들린다. 실제로 AB의 수직이등분선이 원의 중심 O를 지난다는 사실은 현의 양 끝점까지 중심에서 같은 거리에 있다는 성질과 연결되어 있다. 그림에 표시된 직각과 같은 길이를 어떻게 읽는지가 먼저다.
수직이라는 표시만 보고 선을 고르지 않기
문제에서 원의 중심 O와 현 AB가 주어지고, AB와 만나는 점을 M이라고 하자. 학생은 종종 그림에서 직각 표시를 찾은 뒤 곧바로 “OM이 수직이등분선”이라고 쓴다. 그러나 수직이등분선이 되려면 AB에 수직이라는 조건뿐 아니라 M이 AB의 중점이라는 조건도 필요하다. 즉 다음 두 가지를 함께 확인해야 한다.
- OM과 AB가 직각으로 만나는가?
- AM과 MB의 길이가 같은가?
다만 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분한다는 성질을 사용할 수 있다. 따라서 O가 원의 중심이고 OM⊥AB라면 AM=MB를 따로 재지 않아도 된다. 학생이 놓친 부분은 공식을 모른 것이 아니라, ‘중심에서 현에 내린 수선’이라는 조건을 확인하지 않은 채 일반적인 수직선으로 확대 적용한 데 있었다.
같은 거리를 먼저 찾으면 중점 조건이 보인다
수직이등분선의 개념은 한 선분의 두 끝점에서 같은 거리에 있는 점들의 모임이다. 점 O가 AB의 수직이등분선 위에 있으려면 OA=OB가 성립해야 한다. OA와 OB는 같은 원의 반지름이므로 길이가 같다. 따라서 O는 A와 B에서 같은 거리에 있고, O를 지나는 선 가운데 AB에 수직인 선은 AB를 이등분한다.
수업에서는 학생에게 “수직이등분선이니까 중심을 지난다”라고 먼저 말하게 하지 않는다. 대신 다음과 같이 설명하게 한다.
O는 원의 중심이므로 OA=OB이다. 따라서 O는 A와 B에서 같은 거리에 있다. AB에 수직으로 만나는 선은 AB의 수직이등분선이므로 그 교점 M은 AB의 중점이다.
이 설명을 식으로 옮기면 OA=OB, OM⊥AB, AM=MB가 하나의 흐름으로 연결된다. 직각 표시만 보고 결론을 쓰던 풀이보다 조건의 근거가 분명해진다.
‘현’인지 확인하지 않으면 성질을 잘못 옮긴다
다른 문항에서는 원 안의 선분 PQ가 보이자 학생이 그것을 현이라고 판단하고 같은 성질을 적용했다. 하지만 P와 Q가 원 위의 점이라는 표시가 없으면 PQ가 현이라는 조건은 확정되지 않는다. 현은 원주 위의 두 점을 이은 선분이다. 문제를 읽을 때는 먼저 P와 Q가 원 위에 있는지, 주어진 중심이 실제 원의 중심인지, 수선의 발이 선분 AB 위에 있는지를 확인해야 한다.
금정동에서 금정중학교와 흥진중학교의 과제나 시험 준비를 점검할 때도 풀이 개수보다 이런 조건 확인 여부를 보는 편이 유용하다. 같은 군포시의 곡란중학교, 군포중학교, 궁내중학교는 참고 학교일 뿐 금정동 소재 학교로 구분해야 하며, 학교별 출제 경향을 단정하기보다 자녀가 귀가 후 어떤 순서로 문제를 읽고 표시하는지 확인하는 것이 안전하다. 과제가 많은 날에는 오답 전체를 다시 풀게 하기보다 현의 양 끝점, 중심, 직각 표시 세 가지에 표시하게 하면 현재 개념의 빈틈을 빠르게 찾을 수 있다.
길이 조건이 주어진 문제에서 거꾸로 판단하기
다음과 같은 문제를 살펴보자. 원의 중심이 O이고, 현 AB의 중점이 M이며, OM이 AB에 수직이다. OA=13, OM=5일 때 AM의 길이를 구하는 상황이다. 여기서 먼저 수직이등분선의 성질로 AM=MB임을 확인한 뒤, 직각삼각형 OMA에서 필요한 관계를 사용해야 한다. OA가 빗변이고 OM, AM이 직각을 이루는 두 변이므로
AM²=OA²-OM²=13²-5²=169-25=144
이다. 따라서 AM=12이다. 학생이 144를 답으로 끝냈다면 제곱한 길이를 구한 뒤 실제 길이로 돌아오지 않은 것이다. 또 AB 전체를 물었다면 AB=2AM이므로 24가 된다. 같은 도형에서도 무엇을 구하라고 했는지에 따라 마지막 행동이 달라진다.
그림을 회전하고 숫자를 바꿔도 첫 질문을 유지하는가
독립 확인에서는 이전 그림을 그대로 반복하지 않는다. 원의 중심 O에서 현 CD에 내린 수선의 발을 N이라 하고, OC=10, ON=6이라고 제시한다. 학생이 먼저 “C와 D가 원 위에 있으므로 OC=OD, 따라서 N은 CD의 중점”이라고 말하는지 본다. 그다음 CN²=10²-6²=64이므로 CN=8, CD=16이라고 계산하면 된다.
이번에는 수선이 그림의 오른쪽에 놓이거나 현이 기울어져 있어도 같은 순서를 유지해야 한다. 반대로 중심이 아닌 점에서 선분에 수선을 내린 경우에는 원의 반지름이 같다는 근거를 사용할 수 없다. 이때 학생이 그림의 모양이 비슷하다는 이유만으로 수직이등분선이라고 결론내리지 않는지가 검증 지점이다.
귀가 시각이 늦어 긴 풀이를 소화하기 어려운 날에는 문제 하나를 정답까지 끝내는 것보다, ‘두 끝점은 원 위에 있는가’, ‘점은 중심인가’, ‘수직 조건이 있는가’를 말하고 표시하게 하는 편이 효과적이다. 이후 숫자와 도형 배치를 바꾼 문제에서 같은 조건을 도움 없이 찾아내면, 수직이등분선 성질을 문장으로 외운 수준에서 실제 판단 단계로 옮겼다고 볼 수 있다.