토평동중1수학과외, 도형의 조건을 기호로 표시한 뒤 풀이를 시작하는 연습
“이 각은 60도니까 여기도 60도예요.” 한 중1 학생의 풀이에는 숫자는 적혀 있었지만, 그림에서 어떤 두 각이 같거나 어떤 두 변이 같은지 표시한 흔적이 없었다. 답이 맞는지 확인하려고 물으면 학생은 “문제에 그렇게 나와 있는 것 같아요”라고 말한다. 도형 문제에서 계산보다 먼저 필요한 것은 주어진 관계를 그림 위에 정확히 옮기는 일이다.
토평동의 구리여자중학교와 토평중학교를 비롯해 학교 수학을 준비하는 학생에게도 이 부분은 단순한 필기 습관이 아니다. 학원 숙제를 끝내고 학교 수학을 완료했다고 생각하기 전에, 문제의 조건을 그림에 표시했는지와 그 표시를 근거로 풀이했는지를 다시 점검해야 한다. 같은 구리시의 갈매중학교, 교문중학교, 구리중학교 자료를 참고하더라도 학교별 시험 출제나 난도를 임의로 단정하기보다, 현재 학생이 실제 도형 문제에서 어떤 순서로 판단하는지를 확인하는 편이 정확하다.
그림을 보고도 구해야 할 대상을 놓치는 이유
예를 들어 삼각형 ABC에서 ∠A=50°, ∠B=70°라고 주어졌을 때, ∠C를 구하는 문제를 생각해 보자. 학생이 곧바로 “180-50-70=60”이라고 쓰면 계산은 맞지만, 다음 문제에서 ∠A의 외각을 구하라는 조건이 붙었을 때 같은 방식으로 안쪽 각을 계산할 수 있다. 문제를 읽고도 구해야 하는 각이 내각인지 외각인지 그림에서 분리하지 않았기 때문이다.
또 다른 장면에서는 두 변의 길이가 같다는 조건을 읽고도 변에 같은 표시를 하지 않는다. 이후 이등변삼각형의 밑각을 이용해야 할 때 학생은 “어느 각이 같은지”를 다시 글에서 찾느라 시간을 쓴다. 도형을 눈으로만 기억하면 회전된 그림, 선분이 연장된 그림, 보조선이 추가된 그림에서 조건을 놓치기 쉽다.
풀이 전에 하는 30초 표시 절차
- 문장에서 구해야 할 대상을 먼저 동그라미 친다. 각이면 각의 꼭짓점과 두 변을 함께 확인하고, 변이면 양 끝점을 확인한다.
- 같은 길이의 변에는 같은 짧은 선 표시를 하고, 같은 크기의 각에는 같은 호 표시를 한다.
- 평행선은 화살표, 수직 관계는 직각 표시로 옮긴다.
- 주어진 수치는 해당 각이나 선분 옆에 적되, 다른 위치의 각과 섞이지 않도록 한다.
- 표시한 조건에서 바로 사용할 성질을 한 줄로 적는다. 예를 들어 “삼각형 세 내각의 합은 180°”처럼 근거를 먼저 쓴다.
이때 그림을 예쁘게 다시 그리는 것이 목표는 아니다. 문제의 조건과 내가 구할 대상을 한눈에 구분하는 것이 목적이다. 초등 계산 공백 때문에 180-50-70 같은 계산에서 실수가 난다면 초등 문제 전체를 다시 시작하지 않고, 해당 계산 두 문제만 짧게 확인한 뒤 표시된 도형 문제에 다시 적용한다.
한 학생의 풀이가 바뀌는 과정
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 처음에는 “이등변삼각형이니까 두 각이 같다”라고만 쓰고 어느 두 각인지 표시하지 않았다. 그림이 뒤집힌 문제에서는 꼭짓각과 밑각을 잘못 짝지어 오답을 냈다.
수정할 때는 문제를 풀기 전 종이에 세 칸을 만들었다. 첫 칸에는 주어진 관계, 둘째 칸에는 그림 표시, 셋째 칸에는 구할 대상을 적었다. 예를 들어 AB=AC라면 첫 칸에 AB=AC, 둘째 칸에 AB와 AC에 같은 표시, 셋째 칸에 “∠B와 ∠C의 관계 확인”이라고 썼다. 그 뒤에야 각의 합이나 외각의 성질을 적용했다.
외각 문제에서는 외각의 두 변을 직접 짚어 보게 했다. ∠ACD가 삼각형 ABC의 외각이라면, 외각의 변이 CA와 CD라는 것을 그림에 표시하고, ∠ACD와 마주 보는 내각이 무엇인지 확인한다. 단순히 “외각=두 내각의 합”이라는 공식을 먼저 쓰지 않고, 어떤 외각을 말하는지 특정한 뒤 식을 세우는 방식이다.
작도와 입체도형에서도 같은 원칙을 적용하기
작도 순서를 따라 할 수 있지만 각 단계가 어떤 조건을 만드는지 설명하지 못하는 학생은 선을 그리는 행동과 도형의 관계를 연결하지 못한 상태다. 선분 AB를 그리고 A와 B를 중심으로 같은 반지름의 원호를 그렸다면, 두 원호의 교점이 AB에서 같은 거리에 있는 점을 만든다는 사실을 표시 옆에 짧게 적는다. 그러면 작도 절차가 외운 순서가 아니라 조건을 만드는 과정으로 바뀐다.
입체도형 전개도에서도 면 번호를 먼저 붙이고, 서로 맞닿는 모서리를 같은 기호로 표시한다. 전개도를 접었을 때 마주 보는 면과 붙는 면을 구분하지 않은 채 겉넓이를 계산하면 같은 면을 두 번 세거나 필요한 면을 빠뜨릴 수 있다. 이 페이지의 핵심은 전개도 자체를 많이 푸는 것이 아니라, 평면 그림에서 주어진 관계를 표시한 뒤 공간에서의 관계까지 추적하는 것이다.
처음 보는 그림으로 독립 적용 확인하기
훈련이 되었는지는 같은 문제를 바로 다시 맞혔는지로 판단하지 않는다. 다음 문제에서는 숫자를 바꾸고, 삼각형을 회전시키며, 외각을 그림의 반대쪽에 배치한다. 조건도 “AB=AC”처럼 직접 제시하지 않고 “두 변의 길이가 같다”라고 문장으로 제시할 수 있다.
학생은 풀이 전에 구할 각을 표시하고, 같은 변이나 각에 동일한 기호를 붙인 뒤, 사용할 성질을 적어야 한다. 시간 제한을 두었을 때도 숫자부터 계산하지 않고 표시 절차를 유지하는지 확인한다. 다음 날에는 전날과 다른 그림을 다시 제시하고, 일주일 뒤에는 전개도나 작도처럼 그림 형태가 바뀐 문제에서 같은 관계를 찾게 한다.
그림이 회전되거나 보조선이 추가되어도 주어진 조건과 구할 대상을 정확히 표시하고, 그 표시를 근거로 식을 세운다면 단면 기초 훈련은 다음 단계로 넘어갈 수 있다. 반대로 답만 맞고 표시와 근거가 빠진다면 학교 프린트와 시험 대비를 완료한 것으로 보지 않고, 새 문제를 늘리기보다 표시·검산 훈련을 이어 간다.