수택동중3수학과외, 실생활 측정 문제에서 기준각부터 다시 세우기
“나무에서 12m 떨어진 지점에서 꼭대기를 올려다본 각도가 30°이므로 높이는 12tan30°입니다.” 학생이 이렇게 답안을 썼다. 계산 자체보다 먼저 확인해야 할 것은 12m가 어떤 변인지, 30°를 기준으로 보았을 때 구하려는 높이가 대변인지였다. 실생활 측정 문제에서는 숫자를 공식에 곧바로 넣는 습관 때문에 삼각비를 알고도 답을 틀리는 경우가 생긴다.
중3 삼각비 문제의 핵심은 그림을 예쁘게 그리는 데 있지 않다. 관측 지점, 대상의 밑부분, 대상의 꼭대기를 연결해 직각삼각형을 만들고, 기준각을 표시한 뒤 빗변·대변·인접변을 다시 정하는 과정에 있다. 같은 학생도 기준각이 아래쪽에 있을 때는 풀다가, 그림이 회전되거나 구하는 대상이 바뀌면 처음부터 멈추곤 한다.
12m를 바로 곱하기 전에 어느 변인지 표시한다
나무의 밑부분을 A, 관측 지점을 B, 꼭대기를 C라고 하자. 지면 AB가 12m이고, B에서 C를 바라본 앙각이 30°이며 A와 C가 수직으로 연결되어 있다면 직각은 A에 생긴다. 기준각은 B이므로 BC는 빗변, AC는 대변, AB는 인접변이다. 높이 AC를 구할 때 사용하는 비는
tan 30° = AC / AB
이다. 따라서 AC = 12tan30° = 12√3/3 = 4√3m이다. 학생이 적은 12tan30°라는 식은 이 장면에서는 맞지만, 식이 맞았다는 사실만으로 풀이가 끝나지는 않는다. 왜 탄젠트를 선택했는지, 12와 높이가 각각 어떤 변인지 설명해야 숫자와 그림이 바뀌어도 적용할 수 있다.
기준각을 먼저 표시하고, 구하는 변과 이미 알려진 변의 관계를 찾은 뒤 삼각비를 선택한다.
맞힌 답도 그림과 역검산으로 확인한다
학생에게 같은 문제를 다시 풀게 하는 대신 “높이가 12m보다 큰가?”라고 물었다. 30°는 비교적 낮은 각도이므로 수평거리 12m보다 높이가 작아야 한다. 실제로 4√3은 약 6.9이므로 이 조건과 맞는다. 이처럼 결과의 크기를 예상하면 sin, cos, tan을 잘못 선택했을 때도 이상한 값을 빠르게 발견할 수 있다.
반대로 높이가 12m이고 관측 지점에서 나무까지의 수평거리가 12m라면 구하는 것은 각도다. 이때 tanθ = 12/12 = 1이므로 θ = 45°이다. 앞의 문제와 숫자는 같아 보여도 구하는 대상이 달라 식의 역할이 바뀐다. 학생은 처음에 주어진 12를 보면 무조건 tan30°를 계산했지만, 이제는 문제의 마지막 문장에서 무엇을 구하는지 먼저 동그라미 치도록 수정했다.
수택동 생활권의 측정 상황을 문제로 바꾸는 연습
수택동의 수택주공뜨란채나 남양아파트처럼 생활 공간에서 볼 수 있는 건물, 가로등, 나무를 소재로 삼으면 삼각비의 변 이름을 실제 장면에 연결하기 쉽다. 다만 건물의 실제 높이나 특정 학교의 측정값을 확인하지 않은 상태에서 임의의 사실로 단정하지 않고, 문제 안에서 주어진 거리와 각도만 사용해야 한다. 수택동 소재 학교로 제시된 구리중학교와 같은 구리시의 참고 학교인 갈매중학교, 교문중학교, 구리여자중학교, 동구중학교는 서로 다른 일정과 문항을 경험할 수 있으므로 지역 전체를 하나의 내신 성향으로 묶기보다 학생이 학교 프린트의 그림을 어떻게 읽는지 확인하는 편이 적절하다.
예를 들어 학생에게 “관측 지점에서 건물 밑부분까지의 거리는 18m, 꼭대기를 올려다본 각도는 40°”라는 조건만 주고 그림을 직접 그리게 했다. 처음에는 40°를 꼭대기에 표시했지만, 기준각은 관측 지점에서 지면과 시선이 이루는 각이라고 말하게 하자 위치를 바로잡았다. 높이를 h로 두고 tan40° = h/18을 세운 뒤 h = 18tan40°로 정리했다. 계산기를 사용하는 단계에서도 tan40°와 40tan°를 구분해 입력하도록 했다.
그림을 회전해도 첫 행동이 유지되는지 본다
다음 검증에서는 같은 나무 그림을 반복하지 않았다. 경사로 끝에서 지붕의 한 점을 바라보는 그림을 옆으로 돌려 제시하고, 경사로 길이 10m와 기준각 35°를 주었다. 이번에는 10m가 수평거리인지 빗변인지 먼저 판단해야 한다. 직각삼각형에서 10m가 시선이 아닌 경사로 자체이고, 기준각에 맞은 빗변이라면 높이 성분은 10sin35°가 된다. 학생은 처음에 다시 10tan35°를 쓰려 했지만, 빗변과 대변을 표시한 뒤 sin35° = 높이/10으로 수정했다.
이어 높이만 구하지 않고 경사로의 수평거리를 묻자 cos35° = 수평거리/10을 세웠다. 같은 각도와 같은 10m라도 구하는 변이 달라지면 sin과 cos이 바뀐다는 점을 말로 설명하고, 계산 결과가 빗변 10m보다 클 수 없는지도 확인했다. 도움 없이 기준각, 직각, 빗변을 표시하고 식을 세웠다면 공식 암기가 아니라 조건 해석이 작동한 것으로 볼 수 있다.
수택동중3수학과외에서 확인하는 독립 적용 기준
새 문제의 숫자를 12m와 30°에서 15m와 25°로 바꾸는 것만으로는 충분하지 않다. 이번에는 그림 없이 “수평으로 15m 떨어진 곳에서 탑 꼭대기를 본 각이 25°”라고 문장으로 제시하고 탑의 높이를 구하게 했다. 학생은 수평거리를 인접변으로 정하고 tan25° = 높이/15를 세웠다. 또 관측자의 눈높이가 1.5m라는 조건을 추가하자 계산한 수직 높이에 1.5m를 더해야 한다는 점도 구분했다.
실생활 측정 문제에서 확인할 것은 많은 유형을 푼 양이 아니다. 새로운 표현과 배치에서도 학생이 기준각을 찾고, 세 변의 위치를 표시하며, 구하는 값에 맞는 삼각비를 선택하는지다. 마지막으로 단위와 크기를 확인해 답을 현실적인 값으로 해석할 때 비로소 풀이가 독립적으로 완성된다.